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数量积与向量积的性质

向量数量积（点积）和向量积（叉积）的概念及其性质。

这个知识点的练习题

  1. 1直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 r=(4110)+λ(1−1−6),λ∈R\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -6 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}…
  2. 2已知向量 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 为 a=i+(sin⁡θ)j+(cos⁡θ)k\mathbf{a}=\mathbf{i}+(\sin\theta)\mathbf{j}+(\cos\theta)\mathbf{k}\quad 且 b=i+(sin⁡ϕ)j+(cos⁡ϕ)k\quad\mathbf{b}=\mathbf{i}+(\sin\phi)\mathbf{j}+(\cos\phi)\mathbf{k}…
  3. 3以原点 OO 为基准，点 AA、PP 和 QQ 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、p\mathbf{p} 和 q\mathbf{q}。一条穿过点 AA 的直线 ll 平行于单位向量 e\mathbf{e}。 点…
  4. 4平面 Π1\Pi_1 的方程为 x+y+z=3x + y + z = 3。一条直线穿过点 PP 和 QQ，它们的位置向量分别为 i+j+2k\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} 和 4i+2j−k4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}…
  5. 5平面 Π1\Pi_1 和 Π2\Pi_2 的向量方程分别为 r=λ1(i+j−k)+μ1(2i−j+k)andr=λ2(i+2j+k)+μ2(3i+j−k)\mathbf{r} = \lambda_1(\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}) + \mu_1(2\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}) \quad \text{and} \quad \mathbf{r} = \lambda_2(\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) + \mu_2(3\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k})…
  6. 6一位室内设计师正计划设计一个下拉式衣柜升降机。为了测试他的设想，设计师制作了一个它的微缩模型。在这个模型中，点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于模型的一个拐角 O(0,0,0)O(0, 0, 0) 来定义的。模型中使用的杆可以用直线方程来建模。 主杆可…
  7. 7下图显示了一个四面体 ABCDABCD。平面 ABDABD 的方程为 4x+y+2z=164x + y + 2z = 16。 已知 AA 在 xx 轴上，求 AA 的坐标。 平面 CBDCBD 的方程为 7x−11y−5z=−237x - 11y - 5z = -23。 求穿过…
  8. 8点 AA 和 BB 的坐标分别为 (0,2,0)(0, 2, 0) 和 (1,0,2)(1, 0, 2)，且平面 π1\pi_1 的方程为 r⋅(221)=4\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 4…
  9. 9为了应对不断增加的 COVID-19 病例，建立了一个临时隔离中心。其屋顶呈三角柱体形状。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于原点 OO 定义的，其中单位向量 i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 和 k\mathbf{k}…
  10. 10平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1: \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} = \alpha + 20, \; \alpha \in \mathbb{R},…
  11. 11以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。点 CC 在 OBOB 上，使得 OC→=pOB→\overrightarrow{OC}=p\overrightarrow{OB}…
  12. 12平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:  r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1:\;\mathbf{r}\cdot \begin{pmatrix}\alpha\\7\\2\end{pmatrix} = \alpha + 20,\; \alpha \in \mathbb{R},…
  13. 13设点 AA 和点 BB 相对于原点 OO 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。 线段 ABAB 上的点 MM 满足 AM:MB=1:2AM : MB = 1 : 2。用 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}…
  14. 14以原点 O 为基准，点 A 和 B 的位置向量分别为 i−j+2k和2i+4j+ki - j + 2k\quad\text{和}\quad 2i + 4j + k。 证明 OA→\overrightarrow{OA} 垂直于 OB→\overrightarrow{OB}…
  15. 15以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = a 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = b，其中 aa 不平行于 bb。点 PP 在 ABAB 的延长线上，且满足…
  16. 16相对于原点 OO，点 AA 和 BB 分别具有非零且不平行的位置向量 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。平面 pp 的方程为 r⋅n=0\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = 0。 已知 a⋅n=b⋅n≠0\mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{n} \ne 0…
  17. 17以原点 OO 为基准，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}。已知 a+b−c\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}…
  18. 18三个非零向量 p\mathbf{p}、q\mathbf{q} 和 r\mathbf{r} 满足 3p×q=r×p3\mathbf{p} \times \mathbf{q} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}。求 p\mathbf{p}…
  19. 19平面 pp 和 qq 互相垂直。平面 pp 的方程为 2x−z=102x - z = 10。平面 qq 包含具有如下方程的直线 ll： r=(5−34)+λ(2−21),\mathbf{r} = \begin{pmatrix}5 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix},…
  20. 20点 A, B 和 C 的位置向量分别为 2i,  3j2i,\;3j 和 4k4k。求一个垂直于包含 A, B 和 C 的平面 Π1\Pi_1 的向量。 平面 Π2\Pi_2 的方程为 r=i+4j+2k+λ(i−j)+μ(j−k).\mathbf{r} = i + 4j + 2k + \lambda(i - j) + \mu(j - k).…
  21. 21相对于原点 O，两点 A 和 B 的位置向量分别为 a 和 b。a 的长度为 k 个单位，b 是单位向量。a 和 b 之间的夹角为 π6\frac{\pi}{6} 弧度。 已知点 M 在线段 AB 上，且满足 AM:AB 为 3:4，求 ΔOAM\Delta OAM…
  22. 22在图中，点 OO 是直角棱锥顶角为 VV、底面为长方形 ABCDABCD 的中心。相互垂直的单位向量 i, j, k 分别平行于 AB, BC, OV。ABAB、BCBC 和 OVOV 的长度分别为 1212 单位、66 单位和 66…
  23. 23OABCOABC 是一个菱形。点 AA 和 CC 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OC→=c\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}。点 MM 是该菱形的中心，且角 AOCAOC 为…
  24. 24在三角形 PQRPQR 中，向量 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c} 分别表示向量 PQ⃗\vec{PQ}、QR⃗\vec{QR} 和 PR⃗\vec{PR}。 阐述 ∣c×a^∣|\mathbf{c} \times \mathbf{\hat{a}}|…
  25. 25分别由方程 2x+y=12x+y=1 和 8x+ay+z=48x+ay+z=4 给出的两个平面 p1p_{1} 和 p2p_{2} 相交于一条直线 LL，该直线包含点 A(0,1,0)A(0,1,0)。 证明 a=4a=4，并由此求直线 LL 的向量方程。 另一个点 BB…
  26. 26已知 aa、bb 和 cc 是非零向量。 若 ∣a+b∣=∣a−b∣|a+b| = |a-b|，证明这两个向量 aa 和 bb 互相垂直。 (i) 解释为什么 a×(b+c)+b×(c+a)+c×(a+b)a\times(b+c)+b\times(c+a)+c\times(a+b) 的结果…
  27. 27相对于原点 OO，AA、BB 和 CC 点的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 3a+b3\mathbf{a}+\mathbf{b}。点 DD 在 ABAB 上，满足 AD=k ABAD = k\,AB，其中…
  28. 28平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程分别为 r=(4−13)+s(3−17)+t(1−312)\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}…
  29. 29向量 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 由下式给出： a=i+(sin⁡θ)j+(cos⁡θ)k\mathbf{a}=\mathbf{i}+(\sin\theta)\mathbf{j}+(\cos\theta)\mathbf{k} 且 b=i+(sin⁡ϕ)j+(cos⁡ϕ)k\mathbf{b}=\mathbf{i}+(\sin\phi)\mathbf{j}+(\cos\phi)\mathbf{k}…
  30. 30以原点 O 为基准，点 A, B, C, D 的位置向量分别为 2i−j+k,i−2k,−i+3j+2k,−i+j+4k,2i - j + k,\quad i - 2k,\quad -i + 3j + 2k,\quad -i + j + 4k, 。求： 一个垂直于平面 OAB 的向量。 平面…
  31. 31以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。 点 CC 的位置向量为 a+b\mathbf{a} + \mathbf{b}。指出由 O,A,BO, A, B 和 CC…
  32. 32在一个电脑游戏中，一个斜面可以建模为包含三个点 A(1,0,−3)A(1, 0, -3)、B(1,4,−15)B(1, 4, -15) 和 C(2,3,−14)C(2, 3, -14) 的平面 pp。 证明 pp 的方程为 r⋅(231)=−1\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = -1…
  33. 33以原点 OO 为参考点，点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}。OAOA 上的点 CC 满足 OC:OA=1:3OC : OA = 1 : 3…
  34. 34平面 pp 通过点 AA、BB 和 CC，它们的坐标分别为 (0,1,1)(0, 1, 1)、(2,−1,4)(2, -1, 4) 和 (−2,−1,0)(-2, -1, 0)。 证明平面 pp 的笛卡尔方程为 2x−y−2z=−32x - y - 2z = -3。 直线 ll…
  35. 35相对于原点 OO，点 PP 和 QQ 的位置向量分别为 4i+4j+3k4\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k} 和 8i+8j−k8\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - \mathbf{k}。 求直线…
  36. 36点 A、B 和 C 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}。点 A 和 B 是定点，而 C 是动点。 已知 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}…
  37. 37点 A 的坐标为 (1, -2, 4)，平面 π1\pi_1 的方程为 2x−y+2z=5.2x - y + 2z = 5. 求 A 到 π1\pi_1 的最短距离准确值。 平面 π2\pi_2 的方程为 x+3y−az=3x+3y-az=3，其中 aa 为常数。 用…
  38. 38相对于原点 OO，定点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。 动点 RR 的位置向量为 r=λa+(1−λ)b\mathbf{r} = \lambda \mathbf{a} + (1 - \lambda)\mathbf{b}…
  39. 39平面 π1\pi_1 包含点 (2,−2,1)(2,-2,1) 和直线 r=(018)+λ(023),\mathbf{r} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 8\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix},…
  40. 40为了构建虚拟现实（VR）体验，需要创建一个包含几何模型的虚拟世界。以原点 OO 为基准，虚拟世界中的每个点都表示为坐标 (x,y,z)(x, y, z)。透视投影是一种将虚拟世界中的点投影到虚拟屏幕上，同时保持物体在不同距离下的缩放特性的技术。在…
  41. 41以原点 OO 为参考点，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别表示为 OA→\overrightarrow{OA}、OB→\overrightarrow{OB} 和 OC→\overrightarrow{OC}，使得 OA→=(1−λ)OB→+λOC→,\overrightarrow{OA} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OB} + \lambda\overrightarrow{OC},…
  42. 42四面体 OABCOABC 具有四个三角形面，顶点 OO 位于原点。AA、BB 和 CC 的坐标分别为 (9,0,0)(9, 0, 0)、(0,2,0)(0, 2, 0) 和 (0,0,3)(0, 0, 3)（见图）。 求面 ABCABC 的笛卡尔方程。 求面 ABCABC…
  43. 43直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 x−13=y−2a,z=1与r=(120)+λ(−111),λ∈R\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{a}, z = 1 \quad \text{与} \quad \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}…
  44. 44以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，满足 ∣a∣=5|\mathbf{a}| = 5 且 ∣b∣=3|\mathbf{b}| = 3。 已知 ∣2b−a∣=7|2\mathbf{b} - \mathbf{a}| = 7…
  45. 45平面 p 和 q 的方程分别为： r=(2+λ−2μ) i+(−3λ+μ) j+(3−λ+2μ) kr = (2 + \lambda - 2\mu)\,\mathbf{i} + (-3\lambda + \mu)\,\mathbf{j} + (3 - \lambda + 2\mu)\,\mathbf{k}…
  46. 46平面 π1\pi_1 的方程为 r⋅(251)=11.\mathbf{r}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}=11. 平面 π2\pi_2 经过点 A(1,−1,2),  B(2,3,4)A(1,-1,2),\; B(2,3,4) 和…
  47. 47甲烷 ( CH_4 ) 是一种具有四面体结构的化合物。4 个氢 (H) 原子构成一个正四面体，碳 (C) 原子位于中心。 设碳（C）原子的中心为点 P，4 个氢（H）原子的中心为点 Q、R、S 和 T。P、Q、R、S 和 T 的坐标分别为…
  48. 48一个位于水平平坦地面上的机场必须管理飞机从其跑道起飞的飞行航线。这些飞行航线可以假设为直线，飞机可以假设为质点。 在下方图中，标记的点是相对于机场上坐标为 (0,0,0)(0,0,0) 的原点 O 定义的。xx 轴、yy 轴和 zz 轴的方向分…
  49. 49相对于原点 O，点 A 和 B 的位置向量分别为 a\mathbf{a} and b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。点 M 是 OA 的中点，点 N 在 OB 上…
  50. 50平面 Π1\Pi_1 与 Π2\Pi_2 相交于直线 ll，其向量方程分别为 r=2i+4j+6k+θ1(2i+3k)+ϕ1(−4j+5k),\mathbf{r} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k} + \theta_1(2\mathbf{i} + 3\mathbf{k}) + \phi_1(-4\mathbf{j} + 5\mathbf{k}),…
  51. 51图中显示了一个棱锥 DOABC。取如图所示的单位向量 i, j, k，A, B, C, D 的位置向量分别为 OA→=4i,OB→=4i+2j,OC→=2j,OD→=6k。\overrightarrow{OA} = 4i,\quad \overrightarrow{OB} = 4i + 2j,\quad \overrightarrow{OC} = 2j,\quad \overrightarrow{OD} = 6k。…
  52. 52直线 ll 的方程为 1−x=z−α2,y=11 - x = \frac{z - \alpha}{2}, y = 1，其中 α\alpha 为常数。 已知直线 ll 与 yzyz 平面的交点为 (0,1,5)(0, 1, 5)，证明 α=3\alpha = 3。 以…
  53. 53直线 l1l_1 的向量方程为 r=(a10)+λ(01b), λ∈R,\mathbf{r}=\begin{pmatrix}a\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\1\\b\end{pmatrix},\ \lambda\in\mathbb{R},…
  54. 54平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程分别由下式给出 r=s(011)+t(3−12),s,t∈Randr⋅(α3β)=7,\mathbf{r} = s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R} \quad \text{and} \quad \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ 3 \\ \beta \end{pmatrix} = 7,…
  55. 55平面 Π1\Pi_1 的方程为 r=i+2j+k+θ(2j−k)+ϕ(3i+2j−2k).\mathbf{r} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} + \theta(2\mathbf{j} - \mathbf{k}) + \phi(3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}).…
  56. 56相对于原点 OO，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。OAOA 上的点 PP 满足 OP:PA=2:3OP : PA = 2 : 3…
  57. 57直线 ll 的方程为 r=i+6j−3k+s(i−2j+2k)。\mathbf{r} = i + 6j - 3k + s(i - 2j + 2k)。 平面 pp 的方程为 (r−3i).(2i−3j+6k)=0。(\mathbf{r} - 3i).(2i - 3j + 6k) = 0。 直线 ll…
  58. 58相对于原点 OO，两个点 AA and BB 的位置向量分别为 a=2i−j\mathbf{a} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} 和 b=αk\mathbf{b} = \alpha \mathbf{k}，其中 α\alpha…