以原点 O 为基准，点 A 和 B 的位置向量分别为 i−j+2k和2i+4j+ki - j + 2k\quad\text{和}\quad 2i + 4j + k。

  1. (i)

    证明 OA→\overrightarrow{OA} 垂直于 OB→\overrightarrow{OB}。

  2. (ii)

    求线段 AB 上的点 M 的位置向量，使得 AM:MB=1:2AM : MB = 1 : 2。

  3. (iii)

    点 C 的位置向量为 −4i+2j+2k-4i + 2j + 2k。利用向量积求三角形 OAC 的面积的精确值。

数量积与向量积的性质定比分点定理位置向量位移向量与方向向量向量加减法与数乘English
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完整解法

Q7(i)

1. Calculate the scalar (dot) product of the position vectors $\overrightarrow{OA}$ and $\overrightarrow{OB}$.

OA→⋅OB→=(1−12)⋅(241)\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}
=(1)(2)+(−1)(4)+(2)(1)= (1)(2) + (-1)(4) + (2)(1)
=2−4+2= 2 - 4 + 2
=0= 0

2. State the conclusion based on the value of the scalar product.

Since OA→⋅OB→=0\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0, OA→\overrightarrow{OA} is perpendicular to OB→\overrightarrow{OB} (shown).

答案

Since OA→⋅OB→=0\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0, the vectors are perpendicular.

Q7(ii)

1. Apply the ratio theorem formula for point M dividing the line segment AB in the ratio 1:2.

Since AM:MB=1:2AM : MB = 1 : 2, using the ratio theorem:
OM→=2OA→+1OB→1+2\overrightarrow{OM} = \frac{2\overrightarrow{OA} + 1\overrightarrow{OB}}{1 + 2}

2. Substitute the given position vectors of A and B into the equation.

OM→=2(i−j+2k)+(2i+4j+k)3\overrightarrow{OM} = \frac{2(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) + (2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k})}{3}

3. Expand and simplify to find the final position vector.

OM→=13[(2i−2j+4k)+(2i+4j+k)]\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3} \left[ (2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) + (2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k}) \right]
OM→=13(4i+2j+5k)\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3} (4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k})
OM→=43i+23j+53k\overrightarrow{OM} = \frac{4}{3}\mathbf{i} + \frac{2}{3}\mathbf{j} + \frac{5}{3}\mathbf{k}

答案

43i+23j+53k\frac{4}{3}\mathbf{i} + \frac{2}{3}\mathbf{j} + \frac{5}{3}\mathbf{k}

Q7(iii)

1. Calculate the vector product of $\overrightarrow{OA}$ and $\overrightarrow{OC}$.

OA→×OC→=(1−12)×(−422)\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}

=((−1)(2)−(2)(2)(2)(−4)−(1)(2)(1)(2)−(−1)(−4))= \begin{pmatrix} (-1)(2) - (2)(2) \\ (2)(-4) - (1)(2) \\ (1)(2) - (-1)(-4) \end{pmatrix}

=(−6−10−2)= \begin{pmatrix} -6 \\ -10 \\ -2 \end{pmatrix}

2. Calculate the magnitude of the resulting vector product.

∣OA→×OC→∣=(−6)2+(−10)2+(−2)2|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-10)^2 + (-2)^2}
=36+100+4= \sqrt{36 + 100 + 4}
=140= \sqrt{140}
=235= 2\sqrt{35}

3. Calculate the exact area of triangle OAC using the formula.

Area=12∣OA→×OC→∣\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}|
=12(235)= \frac{1}{2}(2\sqrt{35})
=35= \sqrt{35}

答案

35\sqrt{35}

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