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定比分点定理

定比分点定理在几何应用中的使用。

这个知识点的练习题

  1. 1为了应对不断增加的 COVID-19 病例，建立了一个临时隔离中心。其屋顶呈三角柱体形状。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于原点 OO 定义的，其中单位向量 i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 和 k\mathbf{k}…
  2. 2在下图所示的三角形中，一个顶点为原点 O，另外两个顶点为 A 和 B，其中 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}，OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。三角形的中线是连接顶点（O、A…
  3. 3以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。点 CC 在 OBOB 上，使得 OC→=pOB→\overrightarrow{OC}=p\overrightarrow{OB}…
  4. 4平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:  r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1:\;\mathbf{r}\cdot \begin{pmatrix}\alpha\\7\\2\end{pmatrix} = \alpha + 20,\; \alpha \in \mathbb{R},…
  5. 5设点 AA 和点 BB 相对于原点 OO 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。 线段 ABAB 上的点 MM 满足 AM:MB=1:2AM : MB = 1 : 2。用 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}…
  6. 6以原点 O 为基准，点 A 和 B 的位置向量分别为 i−j+2k和2i+4j+ki - j + 2k\quad\text{和}\quad 2i + 4j + k。 证明 OA→\overrightarrow{OA} 垂直于 OB→\overrightarrow{OB}…
  7. 7以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = a 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = b，其中 aa 不平行于 bb。点 PP 在 ABAB 的延长线上，且满足…
  8. 8三个非零向量 p\mathbf{p}、q\mathbf{q} 和 r\mathbf{r} 满足 3p×q=r×p3\mathbf{p} \times \mathbf{q} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}。求 p\mathbf{p}…
  9. 9相对于原点 O，两点 A 和 B 的位置向量分别为 a 和 b。a 的长度为 k 个单位，b 是单位向量。a 和 b 之间的夹角为 π6\frac{\pi}{6} 弧度。 已知点 M 在线段 AB 上，且满足 AM:AB 为 3:4，求 ΔOAM\Delta OAM…
  10. 10在图中，点 OO 是直角棱锥顶角为 VV、底面为长方形 ABCDABCD 的中心。相互垂直的单位向量 i, j, k 分别平行于 AB, BC, OV。ABAB、BCBC 和 OVOV 的长度分别为 1212 单位、66 单位和 66…
  11. 11OABCOABC 是一个菱形。点 AA 和 CC 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OC→=c\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}。点 MM 是该菱形的中心，且角 AOCAOC 为…
  12. 12相对于原点 OO，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}，其中 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}…
  13. 13相对于原点 OO，AA、BB 和 CC 点的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 3a+b3\mathbf{a}+\mathbf{b}。点 DD 在 ABAB 上，满足 AD=k ABAD = k\,AB，其中…
  14. 14以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。 点 CC 的位置向量为 a+b\mathbf{a} + \mathbf{b}。指出由 O,A,BO, A, B 和 CC…
  15. 15平面 pp 通过点 AA、BB 和 CC，它们的坐标分别为 (0,1,1)(0, 1, 1)、(2,−1,4)(2, -1, 4) 和 (−2,−1,0)(-2, -1, 0)。 证明平面 pp 的笛卡尔方程为 2x−y−2z=−32x - y - 2z = -3。 直线 ll…
  16. 16相对于原点 OO，定点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。 动点 RR 的位置向量为 r=λa+(1−λ)b\mathbf{r} = \lambda \mathbf{a} + (1 - \lambda)\mathbf{b}…
  17. 17以原点 OO 为参考点，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别表示为 OA→\overrightarrow{OA}、OB→\overrightarrow{OB} 和 OC→\overrightarrow{OC}，使得 OA→=(1−λ)OB→+λOC→,\overrightarrow{OA} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OB} + \lambda\overrightarrow{OC},…
  18. 18四面体 OABCOABC 具有四个三角形面，顶点 OO 位于原点。AA、BB 和 CC 的坐标分别为 (9,0,0)(9, 0, 0)、(0,2,0)(0, 2, 0) 和 (0,0,3)(0, 0, 3)（见图）。 求面 ABCABC 的笛卡尔方程。 求面 ABCABC…
  19. 19以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，满足 ∣a∣=5|\mathbf{a}| = 5 且 ∣b∣=3|\mathbf{b}| = 3。 已知 ∣2b−a∣=7|2\mathbf{b} - \mathbf{a}| = 7…
  20. 20图中显示了一个棱锥 DOABC。取如图所示的单位向量 i, j, k，A, B, C, D 的位置向量分别为 OA→=4i,OB→=4i+2j,OC→=2j,OD→=6k。\overrightarrow{OA} = 4i,\quad \overrightarrow{OB} = 4i + 2j,\quad \overrightarrow{OC} = 2j,\quad \overrightarrow{OD} = 6k。…
  21. 21相对于原点 OO，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。OAOA 上的点 PP 满足 OP:PA=2:3OP : PA = 2 : 3…
  22. 22相对于原点 OO，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 3a+b3\mathbf{a}+\mathbf{b}。点 DD 在 ABAB 上，使得 AD=k ABAD = k\,AB，其…
  23. 23相对于原点 O，设 P、Q 和 R 为不同的点，其位置向量分别为 p\mathbf{p}、q\mathbf{q} 和 r\mathbf{r}。 证明：(r−p)×(r−q)=p×q+q×r+r×p (\mathbf{r}-\mathbf{p})\times(\mathbf{r}-\mathbf{q}) = \mathbf{p}\times\mathbf{q} + \mathbf{q}\times\mathbf{r} + \mathbf{r}\times\mathbf{p}…
  24. 24两条直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 x−12=−z−1,y=2\frac{x - 1}{2} = -z - 1, y = 2 与 x+3=4−y=z+2x + 3 = 4 - y = z + 2。 判断 l1l_1 与 l2l_2 是否相交，并写出交点坐标（若有）…
  25. 25平面 p1p_1 的方程为 x−y+z=0x - y + z = 0，平面 p2p_2 的方程为 x+y+z=2x + y + z = 2。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 之间的锐角。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 交线的向量方程。 以原点 OO…
  26. 26上图显示了一个半径为 rr 单位且圆心为 OO 的圆。圆上的点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}，OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b} 且 ∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ…
  27. 27以原点 OO 为参考，点 AA、BB 和 CC 满足 OA→=(21−1)\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}、OB→=(01−2)\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}…
  28. 28点 PP 和 QQ 的位置向量分别为 3i+4j−k3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-\mathbf{k} 和 5i+7j+6k5\mathbf{i}+7\mathbf{j}+6\mathbf{k}。 平面 Π\Pi 过点 QQ 且垂直于…
  29. 29玩家在虚拟现实游戏中控制一个角色，其中点 (x,y,z)(x,y,z) 是相对于固定点 OO 定义的。长度单位为米，且我们假设角色在点与点之间沿直线移动。 起初，角色位于坐标为 (−3,4,−1)(-3,4,-1) 的点 AA。角色首先沿着平行于 i−3j\mathbf{i}-3\mathbf{j}…
  30. 30在以原点 OO 为参考点的空间中，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}，其中 a\mathbf{a}…
  31. 31相对于原点 OO，点 AA 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a} and 2b2\mathbf{b}，使得 a=5pi−2pj+4pkandb=i−2j+2k,\mathbf{a} = 5p\mathbf{i} - 2p\mathbf{j} + 4p\mathbf{k} \quad \text{and} \quad \mathbf{b} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k},…
  32. 32以原点 OO 为基准，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 3i−j3\mathbf{i} - \mathbf{j}、5i+3j+4k5\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k} 和 2i+αj+2k2\mathbf{i} + \alpha\mathbf{j} + \sqrt{2}\mathbf{k}…
  33. 33直线 l1l_1 和平面 π1\pi_1 的方程分别为 r=(1−33)+λ(32−2),λ∈R\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}…
  34. 34以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，使得夹角 ∠AOB=30∘\angle AOB = 30^\circ 且 ∣a∣=4∣b∣|\mathbf{a}| = 4|\mathbf{b}|…
  35. 35以原点 OO 为基准，点 A,B,C,DA,B,C,D 和 EE 的坐标分别为 A(2,3,4),  B(6,5,7),  C(8,9,6),  D(4,7,3)A(2,3,4),\; B(6,5,7),\; C(8,9,6),\; D(4,7,3) 且 E(5,6,10)E(5,6,10)。 证明包含点 A,BA, B 和 EE 的平…
  36. 36以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}。点 CC 在 OBOB 上，满足 OC→=pOB→\overrightarrow{OC} = p\overrightarrow{OB}…
  37. 37上图显示了一个长方体 OABCDEFGOABCDEFG，其水平底面为 OABCOABC，其中 OA=6 cmOA = 6\text{ cm} 且 AB=4 cmAB = 4\text{ cm}。ODOD、AEAE、BFBF 和 CGCG 为垂直边，高度为 10 cm10\text{ cm}…
  38. 38相对于原点 OO，点 AA 的位置向量为 3i+7j+k3\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + \mathbf{k}。平面 π\pi 包含点 AA，且平行于向量 −2i+2j+k-2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}…
  39. 39该图展示了一个以 OO 为圆心、 ABAB 为直径的单位圆。点 CC 落在圆周上。 A,BA, B 和 CC 的位置向量分别为 a,b\mathbf{a}, \mathbf{b} 和 c\mathbf{c}。 通过考虑适当的数量积（点积…
  40. 40如上图所示的平行四边形 OACBOACB 中，OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}。已知 MM 是 ACAC 的中点，且 ON:NB=2:1ON : NB = 2 : 1…
  41. 41点 PP 和 QQ 的位置向量分别为 3i+4j−k3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-\mathbf{k} 和 5i+7j+6k5\mathbf{i}+7\mathbf{j}+6\mathbf{k}。 平面 Π\Pi 通过 QQ 且垂直于…
  42. 42已知 OA→=3i+j+3k\overrightarrow{OA} = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k} 且 OB→=5i−4j+3k\overrightarrow{OB} = 5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}…
  43. 43相对于原点 OO，两个点 AA 和 BB 的位置向量分别由 a=4i+2j+3k\mathbf{a} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} 和 b=4i−2j+7k\mathbf{b} = 4\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 7\mathbf{k}…
  44. 44点 AA 和 BB 关于原点 OO 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 为非零且不平行的向量。 已知 BB 在线段 ACAC 上，且…
  45. 45相对于原点 OO，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 6i6\mathbf{i}、4i+2j+4k4\mathbf{i}+2\mathbf{j}+4\mathbf{k} 和 3i+2j+6k3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+6\mathbf{k}…
  46. 46以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。点 CC 在 OBOB 上，满足 OC→=p OB→\overrightarrow{OC} = p\,\overrightarrow{OB}…
  47. 47以原点 OO 为参考，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。点 CC 在 OAOA 上，使得…
  48. 48相对于原点 OO，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 与 b\mathbf{b} 不平行。已知 BB 落在线段 ACAC 上，使得 BC→=3b−μa\overrightarrow{BC} = 3\mathbf{b} - \mu\mathbf{a}…
  49. 49曲线 CC 的参数方程为 x=t2+2,y=t3,where t∈R.x = t^2 + 2, \quad y = t^3, \quad \text{where } t \in \mathbb{R}. 画出 CC 的草图。 求曲线 CC 在点 (6,8)(6, 8) 处的切线…
  50. 50以原点 OO 为基准，三个点 AA、BB 和 PP 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 a+5b\mathbf{a} + 5\mathbf{b}。已知 b\mathbf{b} 是单位向量，角 AOBAOB…