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向量加减法与数乘

向量的加减法、数乘向量及其几何意义。

这个知识点的练习题

  1. 1一位室内设计师正计划设计一个下拉式衣柜升降机。为了测试他的设想，设计师制作了一个它的微缩模型。在这个模型中，点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于模型的一个拐角 O(0,0,0)O(0, 0, 0) 来定义的。模型中使用的杆可以用直线方程来建模。 主杆可…
  2. 2平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1: \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} = \alpha + 20, \; \alpha \in \mathbb{R},…
  3. 3在下图所示的三角形中，一个顶点为原点 O，另外两个顶点为 A 和 B，其中 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}，OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。三角形的中线是连接顶点（O、A…
  4. 4以原点 O 为基准，点 A 和 B 的位置向量分别为 i−j+2k和2i+4j+ki - j + 2k\quad\text{和}\quad 2i + 4j + k。 证明 OA→\overrightarrow{OA} 垂直于 OB→\overrightarrow{OB}…
  5. 5以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = a 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = b，其中 aa 不平行于 bb。点 PP 在 ABAB 的延长线上，且满足…
  6. 6点 A, B 和 C 的位置向量分别为 2i,  3j2i,\;3j 和 4k4k。求一个垂直于包含 A, B 和 C 的平面 Π1\Pi_1 的向量。 平面 Π2\Pi_2 的方程为 r=i+4j+2k+λ(i−j)+μ(j−k).\mathbf{r} = i + 4j + 2k + \lambda(i - j) + \mu(j - k).…
  7. 7OABCOABC 是一个菱形。点 AA 和 CC 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OC→=c\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}。点 MM 是该菱形的中心，且角 AOCAOC 为…
  8. 8在三角形 PQRPQR 中，向量 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c} 分别表示向量 PQ⃗\vec{PQ}、QR⃗\vec{QR} 和 PR⃗\vec{PR}。 阐述 ∣c×a^∣|\mathbf{c} \times \mathbf{\hat{a}}|…
  9. 9相对于原点 OO，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}，其中 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}…
  10. 10已知 aa、bb 和 cc 是非零向量。 若 ∣a+b∣=∣a−b∣|a+b| = |a-b|，证明这两个向量 aa 和 bb 互相垂直。 (i) 解释为什么 a×(b+c)+b×(c+a)+c×(a+b)a\times(b+c)+b\times(c+a)+c\times(a+b) 的结果…
  11. 11相对于原点 OO，AA、BB 和 CC 点的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 3a+b3\mathbf{a}+\mathbf{b}。点 DD 在 ABAB 上，满足 AD=k ABAD = k\,AB，其中…
  12. 12平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程分别为 r=(4−13)+s(3−17)+t(1−312)\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}…
  13. 13以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。 点 CC 的位置向量为 a+b\mathbf{a} + \mathbf{b}。指出由 O,A,BO, A, B 和 CC…
  14. 14相对于原点 OO，定点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。 动点 RR 的位置向量为 r=λa+(1−λ)b\mathbf{r} = \lambda \mathbf{a} + (1 - \lambda)\mathbf{b}…
  15. 15为了构建虚拟现实（VR）体验，需要创建一个包含几何模型的虚拟世界。以原点 OO 为基准，虚拟世界中的每个点都表示为坐标 (x,y,z)(x, y, z)。透视投影是一种将虚拟世界中的点投影到虚拟屏幕上，同时保持物体在不同距离下的缩放特性的技术。在…
  16. 16以原点 OO 为参考点，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别表示为 OA→\overrightarrow{OA}、OB→\overrightarrow{OB} 和 OC→\overrightarrow{OC}，使得 OA→=(1−λ)OB→+λOC→,\overrightarrow{OA} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OB} + \lambda\overrightarrow{OC},…
  17. 17甲烷 ( CH_4 ) 是一种具有四面体结构的化合物。4 个氢 (H) 原子构成一个正四面体，碳 (C) 原子位于中心。 设碳（C）原子的中心为点 P，4 个氢（H）原子的中心为点 Q、R、S 和 T。P、Q、R、S 和 T 的坐标分别为…
  18. 18图中显示了一个棱锥 DOABC。取如图所示的单位向量 i, j, k，A, B, C, D 的位置向量分别为 OA→=4i,OB→=4i+2j,OC→=2j,OD→=6k。\overrightarrow{OA} = 4i,\quad \overrightarrow{OB} = 4i + 2j,\quad \overrightarrow{OC} = 2j,\quad \overrightarrow{OD} = 6k。…
  19. 19相对于原点 OO，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。OAOA 上的点 PP 满足 OP:PA=2:3OP : PA = 2 : 3…
  20. 20相对于原点 OO，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 3a+b3\mathbf{a}+\mathbf{b}。点 DD 在 ABAB 上，使得 AD=k ABAD = k\,AB，其…
  21. 21平面 p1p_1 的方程为 x−y+z=0x - y + z = 0，平面 p2p_2 的方程为 x+y+z=2x + y + z = 2。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 之间的锐角。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 交线的向量方程。 以原点 OO…
  22. 22以原点 OO 为基准，三个点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 3i−2j+5k3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}、i+4j−2k\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 2\mathbf{k}…
  23. 23点 X 的位置向量为 (8−4)\begin{pmatrix}8\\-4\end{pmatrix}。 点 Y 的位置向量为 (64)\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}。 求表示从 X 到 Y 平移的向量。 答案 ( )…
  24. 24如图所示，用 6 个边长为 5 个单位的正三角形拼成一个正六边形。通过用 OP→\overrightarrow{OP} 和 OR→\overrightarrow{OR} 表示 OQ→\overrightarrow{OQ}，或用其他方法，求 OP→⋅(OP→+OQ→+OR→)\overrightarrow{OP}\cdot(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR})…
  25. 25以原点 OO 为参考，点 AA、BB 和 CC 满足 OA→=(21−1)\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}、OB→=(01−2)\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}…
  26. 26以原点 O 为基准，点 A 的位置向量为 −i−3j+3k-\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}。平面 π\pi 和直线 ll 的方程分别为 r=(421)+λ(−132)+μ(23−4)\mathbf{r} = \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -4\end{pmatrix}…
  27. 27以原点 OO 为参考，设 PP、QQ 和 RR 是三个不同的点，其位置向量分别为 p\mathbf{p}、q\mathbf{q} 和 r\mathbf{r}。 证明 (r−p)×(r−q)=p×q+q×r+r×p(\mathbf{r}-\mathbf{p})\times(\mathbf{r}-\mathbf{q}) = \mathbf{p}\times\mathbf{q} + \mathbf{q}\times\mathbf{r} + \mathbf{r}\times\mathbf{p}…
  28. 28玩家在虚拟现实游戏中控制一个角色，其中点 (x,y,z)(x,y,z) 是相对于固定点 OO 定义的。长度单位为米，且我们假设角色在点与点之间沿直线移动。 起初，角色位于坐标为 (−3,4,−1)(-3,4,-1) 的点 AA。角色首先沿着平行于 i−3j\mathbf{i}-3\mathbf{j}…
  29. 29平面 Π1\Pi_1 和 Π2\Pi_2 的方程分别为 r⋅(i−2j+k)=4\mathbf{r} \cdot (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) = 4 和 r=3i−j+k+λ(−i+j+k)+μ(4i+j)\mathbf{r} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} + \lambda(-\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) + \mu(4\mathbf{i} + \mathbf{j})…
  30. 30一个四面体有四个顶点 O, A, B 和 C，其中 O 为原点。已知 B 的坐标为 (1, 4, 6)，且直线 AB 的方程为 r=i+4j+6k+λ(2i+aj+ak)\mathbf{r} = \mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k} + \lambda(2\mathbf{i} + a\mathbf{j} + a\mathbf{k})…
  31. 31点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。CC 是直线 OBOB 上的点，使得 ACAC 垂直于 OBOB。 通过使用适当的数量积或其他方法，证明 OC→=(a⋅b)∣b∣2b\overrightarrow{OC} = \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})}{|\mathbf{b}|^2}\mathbf{b}…
  32. 32点 AA 和 BB 相对于原点 OO 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。点 CC 使得 OACBOACB 为平行四边形。ACAC 上的点 PP 满足 AP:PC=1:2AP : PC = 1 : 2，BCBC…
  33. 33以原点 OO 为基准，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 3i−j3\mathbf{i} - \mathbf{j}、5i+3j+4k5\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k} 和 2i+αj+2k2\mathbf{i} + \alpha\mathbf{j} + \sqrt{2}\mathbf{k}…
  34. 3424 在网格中，OA→=a\overrightarrow{OA} = a 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = b。Q 是网格上的一个点。 标记并标出点 P，使得 OP→=−b−2a\overrightarrow{OP} = -b - 2a。 用…
  35. 35平面 Π\Pi 的方程为 2x−3y+6z=72x-3y+6z=7，直线 ll 的方程为 r=8i−2j+8k+t(3i−j+2k)\mathbf{r}=8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+8\mathbf{k}+t(3\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})…
  36. 36以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，使得夹角 ∠AOB=30∘\angle AOB = 30^\circ 且 ∣a∣=4∣b∣|\mathbf{a}| = 4|\mathbf{b}|…
  37. 37相对于原点 OO，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 4i+2j4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} 和 3i+k3\mathbf{i} + \mathbf{k}。点 CC 使得 OACBOACB 为平行四边形，点 EE 满足…
  38. 38以点 OO 为原点且以 xx-yy 平面为水平面，棱锥 OPQRVOPQRV 具有平行四边形底面 OPQROPQR 和高 OVOV。点 PP 和 RR 的位置向量分别为 −3i+4j+3k-3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}…
  39. 39相对于原点 OO，点 AA 的位置向量为 3i+7j+k3\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + \mathbf{k}。平面 π\pi 包含点 AA，且平行于向量 −2i+2j+k-2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}…
  40. 40该图展示了一个以 OO 为圆心、 ABAB 为直径的单位圆。点 CC 落在圆周上。 A,BA, B 和 CC 的位置向量分别为 a,b\mathbf{a}, \mathbf{b} 和 c\mathbf{c}。 通过考虑适当的数量积（点积…
  41. 41如上图所示的平行四边形 OACBOACB 中，OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}。已知 MM 是 ACAC 的中点，且 ON:NB=2:1ON : NB = 2 : 1…
  42. 42非零向量 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c} 满足 3a×b=2b×c3\mathbf{a}\times\mathbf{b} = 2\mathbf{b}\times\mathbf{c}，其中 3a≠−2c3\mathbf{a} \ne -2\mathbf{c}…
  43. 43点 A 和 B 相对于原点 O 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。点 C 满足 OACB 为平行四边形。AC 上的点 P 满足 AP : PC = 1 : 2，且 BC 上的点 Q 满足 BQ : Q…
  44. 44相对于原点 OO，两个点 AA 和 BB 的位置向量分别由 a=4i+2j+3k\mathbf{a} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} 和 b=4i−2j+7k\mathbf{b} = 4\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 7\mathbf{k}…
  45. 45平面 p1p_1 的方程为 x−y+z=0x - y + z = 0，平面 p2p_2 的方程为 x+y+z=2x + y + z = 2。 以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 满足 OA→=−2i+j−k\overrightarrow{OA} = -2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}…
  46. 46已知非零向量 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c} 满足 3a×b=2b×c3\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 2\mathbf{b} \times \mathbf{c}，其中 3a≠−2c3\mathbf{a} \ne -2\mathbf{c}…
  47. 47方程为 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的曲线在点 (x,y)(x, y) 处的切线通过点 (a,x)(a, x)，其中 aa 是正常数且 x<ax < a。 写出一个联系 dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}、aa…
  48. 48点 AA 和 BB 关于原点 OO 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 为非零且不平行的向量。 已知 BB 在线段 ACAC 上，且…
  49. 49以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。点 CC 在 OBOB 上，满足 OC→=p OB→\overrightarrow{OC} = p\,\overrightarrow{OB}…
  50. 50以原点 OO 为参考，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。点 CC 在 OAOA 上，使得…
  51. 51下图显示了一个以 AA、BB、CC 和 DD 为顶点的三棱锥。以原点 OO 为基准，点 AA、BB、CC 和 DD 的位置向量分别为 i+2j+3k\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}、2i−j+4k2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k}…
  52. 52相对于原点 OO，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 与 b\mathbf{b} 不平行。已知 BB 落在线段 ACAC 上，使得 BC→=3b−μa\overrightarrow{BC} = 3\mathbf{b} - \mu\mathbf{a}…
  53. 53以点 OO 为原点，x-y 平面为水平面，棱锥 OPQRVOPQRV 具有平行四边形底面 OPQROPQR 和高 OVOV。点 PP 和 RR 的位置向量分别为 −3i+4j+3k-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k} 和…
  54. 54以原点 OO 为基准，三个点 AA、BB 和 PP 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 a+5b\mathbf{a} + 5\mathbf{b}。已知 b\mathbf{b} 是单位向量，角 AOBAOB…