点 X 的位置向量为 $\begin{pmatrix}8\\-4\end{pmatrix}$。 点 Y 的位置向量为 $\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$。

1. 计算从点X到点Y的平移向量

根据位置向量的概念，$\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}$：
$\overrightarrow{XY} = \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}8\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6-8\\4-(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}$

1. 计算向量 $\overrightarrow{XY}$ 的模长

已知 $\overrightarrow{XY} = \begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}$，代入模长公式：
$|\overrightarrow{XY}| = \sqrt{(-2)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \approx 8.25\text{ 单位}$

1. 表示向量 $\overrightarrow{XZ}$ 并利用共线关系列方程

点 Z 的位置向量为 $\overrightarrow{OZ} = \begin{pmatrix}-1\\k\end{pmatrix}$。
向量 $\overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{OZ} - \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix}-1\\k\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}8\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\k+4\end{pmatrix}$。
因为点 Z 在直线 XY 的延长线上，所以 $\overrightarrow{XZ}$ 与 $\overrightarrow{XY} = \begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}$ 共线，存在常数 $c$ 使得：
$\begin{pmatrix}-9\\k+4\end{pmatrix} = c \begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}$

2. 求解参数 $k$ 并写出点 Z 的位置向量

由 $x$ 分量比较：$-9 = -2c \implies c = 4.5$。
由 $y$ 分量比较：$k + 4 = 8c = 8 \times 4.5 = 36 \implies k = 32$。
因此，点 Z 的位置向量为 $\begin{pmatrix}-1\\32\end{pmatrix}$。

1. 用 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 表示向量 $\overrightarrow{BD}$

由向量加法三角形法则，$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -4\mathbf{a} + 8\mathbf{b}$。

2. 按比例关系计算 $\overrightarrow{BE}$

已知 $BE : BD = 3 : 4$，故 $\overrightarrow{BE} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BD}$：
$\overrightarrow{BE} = \dfrac{3}{4}(-4\mathbf{a} + 8\mathbf{b}) = -3\mathbf{a} + 6\mathbf{b}$

1. 利用首尾相接求出 $\overrightarrow{BF}$

由三角形法则，$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EF}$。
已知 $\overrightarrow{BE} = -3\mathbf{a} + 6\mathbf{b}$，且 $\overrightarrow{EF} = 2(\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 2\mathbf{a} - 2\mathbf{b}$：
$\overrightarrow{BF} = (-3\mathbf{a} + 6\mathbf{b}) + (2\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = -\mathbf{a} + 4\mathbf{b}$

2. 利用中点性质计算 $\overrightarrow{BC}$

因为 F 是 BC 的中点，所以 $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BF}$：
$\overrightarrow{BC} = 2(-\mathbf{a} + 4\mathbf{b}) = -2\mathbf{a} + 8\mathbf{b}$

1. 用向量表示边 DC

计算向量 $\overrightarrow{DC}$：
$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = -8\mathbf{b} + 4\mathbf{a} + (-2\mathbf{a} + 8\mathbf{b}) = 2\mathbf{a}$

2. 比较 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{DC}$ 并判定四边形类型

对比 $\overrightarrow{AB} = 4\mathbf{a}$ 和 $\overrightarrow{DC} = 2\mathbf{a}$，可知：
$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{DC}$
这表明边 AB 与 DC 平行（方向相同），且 $AB$ 的长度是 $DC$ 长度的 2 倍（长短不一）。只有一组对边平行的四边形是梯形（trapezium）。