向量共线

这个知识点的练习题

1. 1以原点 $O$ 为基准，点 $A$、$P$ 和 $Q$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$、$\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{q}$。一条穿过点 $A$ 的直线 $l$ 平行于单位向量 $\mathbf{e}$。 点…
2. 2在下图所示的三角形中，一个顶点为原点 O，另外两个顶点为 A 和 B，其中 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$。三角形的中线是连接顶点（O、A…
3. 3以原点 $O$ 为基准，点 $A$ 和点 $B$ 满足 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ 且 $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$。点 $C$ 在 $OB$ 上，使得 $\overrightarrow{OC}=p\overrightarrow{OB}$…
4. 4设点 $A$ 和点 $B$ 相对于原点 $O$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$。 线段 $AB$ 上的点 $M$ 满足 $AM : MB = 1 : 2$。用 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$…
5. 5以原点 $O$ 为基准，点 $A$ 和 $B$ 满足 $\overrightarrow{OA} = a$ 且 $\overrightarrow{OB} = b$，其中 $a$ 不平行于 $b$。点 $P$ 在 $AB$ 的延长线上，且满足…
6. 6相对于原点 $O$，点 $A$、$B$ 和 $C$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$，其中 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$…
7. 7相对于原点 $O$，$A$、$B$ 和 $C$ 点的位置向量分别为 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 和 $3\mathbf{a}+\mathbf{b}$。点 $D$ 在 $AB$ 上，满足 $AD = k\,AB$，其中…
8. 8以原点 $O$ 为基准，点 $A$ 和 $B$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$。 点 $C$ 的位置向量为 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$。指出由 $O, A, B$ 和 $C$…
9. 9为了构建虚拟现实（VR）体验，需要创建一个包含几何模型的虚拟世界。以原点 $O$ 为基准，虚拟世界中的每个点都表示为坐标 $(x, y, z)$。透视投影是一种将虚拟世界中的点投影到虚拟屏幕上，同时保持物体在不同距离下的缩放特性的技术。在…
10. 10以原点 $O$ 为参考点，点 $A$、$B$ 和 $C$ 的位置向量分别表示为 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 和 $\overrightarrow{OC}$，使得 $\overrightarrow{OA} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OB} + \lambda\overrightarrow{OC},$…
11. 11相对于原点 O，点 A 和 B 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$，其中 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是非零且不平行的向量。点 M 是 OA 的中点，点 N 在 OB 上…
12. 12相对于原点 $O$，点 $A$、$B$ 和 $C$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 和 $3\mathbf{a}+\mathbf{b}$。点 $D$ 在 $AB$ 上，使得 $AD = k\,AB$，其…
13. 13相对于原点 O，设 P、Q 和 R 为不同的点，其位置向量分别为 $\mathbf{p}$、$\mathbf{q}$ 和 $\mathbf{r}$。 证明：$(\mathbf{r}-\mathbf{p})\times(\mathbf{r}-\mathbf{q}) = \mathbf{p}\times\mathbf{q} + \mathbf{q}\times\mathbf{r} + \mathbf{r}\times\mathbf{p}$…
14. 14上图显示了一个半径为 $r$ 单位且圆心为 $O$ 的圆。圆上的点 $A$ 和 $B$ 满足 $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$ 且 $\angle AOB = 120^\circ$…
15. 15点 X 的位置向量为 $\begin{pmatrix}8\\-4\end{pmatrix}$。 点 Y 的位置向量为 $\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$。 求表示从 X 到 Y 平移的向量。 答案 ( )…
16. 16如图所示，用 6 个边长为 5 个单位的正三角形拼成一个正六边形。通过用 $\overrightarrow{OP}$ 和 $\overrightarrow{OR}$ 表示 $\overrightarrow{OQ}$，或用其他方法，求 $\overrightarrow{OP}\cdot(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR})$…
17. 17以原点 $O$ 为参考，点 $A$、$B$ 和 $C$ 满足 $\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$、$\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$…
18. 18以原点 $O$ 为参考，设 $P$、$Q$ 和 $R$ 是三个不同的点，其位置向量分别为 $\mathbf{p}$、$\mathbf{q}$ 和 $\mathbf{r}$。 证明 $(\mathbf{r}-\mathbf{p})\times(\mathbf{r}-\mathbf{q}) = \mathbf{p}\times\mathbf{q} + \mathbf{q}\times\mathbf{r} + \mathbf{r}\times\mathbf{p}$…
19. 19相对于原点 $O$，两个定点 $A$ 和 $B$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$。点 $P$ 的位置向量 $\mathbf{p}$ 由 $\mathbf{p}=\lambda\mathbf{a}+(1-\lambda)\mathbf{b}$…
20. 20点 $A$ 和 $B$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$。$C$ 是直线 $OB$ 上的点，使得 $AC$ 垂直于 $OB$。 通过使用适当的数量积或其他方法，证明 $\overrightarrow{OC} = \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})}{|\mathbf{b}|^2}\mathbf{b}$…
21. 21若$A(\text{-}2\text{,}3)$，$B(3\text{,-}2)$，$C(1\text{,}m)$三点共线，则$m$的值为$()$ A. $\text{-}2$ B. $\text{-}1$ C.…
22. 22以原点 $O$ 为基准，点 $A$ 和 $B$ 满足 $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ 且 $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$。点 $C$ 在 $OB$ 上，满足 $\overrightarrow{OC} = p\overrightarrow{OB}$…
23. 23该图展示了一个以 $O$ 为圆心、 $AB$ 为直径的单位圆。点 $C$ 落在圆周上。 $A, B$ 和 $C$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$。 通过考虑适当的数量积（点积…
24. 24如上图所示的平行四边形 $OACB$ 中，$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ 且 $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$。已知 $M$ 是 $AC$ 的中点，且 $ON : NB = 2 : 1$…
25. 25点 $P$ 和 $Q$ 的位置向量分别为 $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-\mathbf{k}$ 和 $5\mathbf{i}+7\mathbf{j}+6\mathbf{k}$。 平面 $\Pi$ 通过 $Q$ 且垂直于…
26. 26已知 $\overrightarrow{OA} = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ 且 $\overrightarrow{OB} = 5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$…
27. 27点 $A$ 和 $B$ 关于原点 $O$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，其中 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为非零且不平行的向量。 已知 $B$ 在线段 $AC$ 上，且…
28. 28以原点 $O$ 为基准，点 $A$ 和点 $B$ 满足 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ 且 $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$。点 $C$ 在 $OB$ 上，满足 $\overrightarrow{OC} = p\,\overrightarrow{OB}$…
29. 29相对于原点 $O$，点 $A$ 和 $B$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，其中 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 不平行。已知 $B$ 落在线段 $AC$ 上，使得 $\overrightarrow{BC} = 3\mathbf{b} - \mu\mathbf{a}$…
30. 30以点 $O$ 为原点，x-y 平面为水平面，棱锥 $OPQRV$ 具有平行四边形底面 $OPQR$ 和高 $OV$。点 $P$ 和 $R$ 的位置向量分别为 $-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ 和…
31. 31以原点 $O$ 为基准，三个点 $A$、$B$ 和 $P$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{a} + 5\mathbf{b}$。已知 $\mathbf{b}$ 是单位向量，角 $AOB$…
32. 32点 $A$、$B$ 和 $C$ 相对于原点 $O$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$。点 $C$ 在 $AB$ 的延长线上，使得 $5AB = 3AC$。已知 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 2$…
33. 33点 P、Q 和 R 相对于原点 O 的位置向量分别为 p、q 和 r。向量 p 是单位向量，而向量 q 和 r 是非零向量。 写出 $|\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}|$ 的几何意义。 已知 $\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=2$…