在图中， $\overrightarrow{OA} = 6a$ ， $\overrightarrow{OB} = 6b$ 且 $3\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB}$ 。M 是 OB 的中点。

(a)
用 $a$ 和 $b$ 表示 $\overrightarrow{AN}$ ，并化简到最简形式。
(b)
用 $a$ 和 $b$ 表示 $\overrightarrow{ON}$ ，并化简到最简形式。
(c)
由此或通过其他方法，证明 $\overrightarrow{NM} = b - 4a$ 。
(d)
P 是一个未在图中示出的点，满足 $\overrightarrow{MP} = 3\overrightarrow{MN}$ 。
1. (i)
  求 P 的位置向量。
2. (ii)
  写出关于点 O、A 和 P 的 2 个事实。

它不会直接告诉你答案，而是问你卡在哪一步看看 AI 是怎么陪你一步步弄懂这道题的

完整解法

22(a)

1. Express $\overrightarrow{AB}$ in terms of $a$ and $b$.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$
Since $\overrightarrow{OA}=6a$ , then $\overrightarrow{AO}=-6a$ .

$\overrightarrow{AB}=-6a+6b=6b-6a$

2. Use $3\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}$ to find $\overrightarrow{AN}$.

$3\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}$
$3\overrightarrow{AN}=6b-6a$
$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}(6b-6a)=2b-2a$

答案

$\overrightarrow{AN}=2b-2a$

22(b)

1. Express $\overrightarrow{ON}$ using a suitable vector path and simplify.

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AN}$
$=6a+(2b-2a)$
$=4a+2b$

答案

$\overrightarrow{ON}=4a+2b$

22(c)

1. Find the position vector of $M$ using that $M$ is the midpoint of $OB$.

Since $M$ is the mid-point of $OB$ ,
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}(6b)=3b.$

2. Express $\overrightarrow{NM}$ using a vector path through $O$ and simplify.

From part (b), $\overrightarrow{ON}=4a+2b$ .

$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OM}$
$=-\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OM}$
$=-(4a+2b)+3b$
$=b-4a.$

答案

$\overrightarrow{NM}=b-4a$

22(d)(i)

1. Find $\overrightarrow{MP}$ using the given relation and the earlier result for $\overrightarrow{NM}$.

From part (c),
$\overrightarrow{NM}=b-4a$ .

Hence
$\overrightarrow{MN}=-(b-4a)=4a-b$ .

Given $\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{MN}$ ,
$\overrightarrow{MP}=3(4a-b)=12a-3b.$

2. Use the path from $O$ to $P$ through $M$ to find the position vector of $P$.

Since $M$ is the mid-point of $OB$ and $\overrightarrow{OB}=6b$ ,
$\overrightarrow{OM}=3b.$

Therefore
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}$
$=3b+(12a-3b)$
$=12a.$

答案

$\overrightarrow{OP}=12a$

22(d)(ii)

1. Compare the position vectors of A and P.

Given $\overrightarrow{OA}=6a$ and from part (d)(i), $\overrightarrow{OP}=12a$ .

So
$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OA}$ .

2. State the two geometrical facts about O, A and P.

Since $\overrightarrow{OP}$ is a positive scalar multiple of $\overrightarrow{OA}$ , the points $O$ , $A$ and $P$ lie on the same straight line.

Also, $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OA}$ , so $OA=AP$ . Hence $A$ is the midpoint of $OP$ .

答案

The points $O$ , $A$ and $P$ are collinear, and $A$ is the midpoint of $OP$ .

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在图中，OA→=6a\overrightarrow{OA} = 6aOA=6a，OB→=6b\overrightarrow{OB} = 6bOB=6b 且 3AN→=AB→3\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB}3AN=AB。M 是 OB 的中点。