数学知识点English

位置向量位移向量与方向向量

位置向量、位移向量和方向向量。

这个知识点的练习题

  1. 1一家钻探公司计划在山中铺设一条直管道 ABAB。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于山脚下坐标为 (0,0,0)(0, 0, 0) 的主控制中心定义的，其中单位为米。xx 轴指向东，yy 轴指向北，zz 轴垂直向上。点 AA 的坐标为 (−200,150,10)(-200, 150, 10)…
  2. 2平面 Π1\Pi_1 的方程为 x+y+z=3x + y + z = 3。一条直线穿过点 PP 和 QQ，它们的位置向量分别为 i+j+2k\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} 和 4i+2j−k4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}…
  3. 3一位室内设计师正计划设计一个下拉式衣柜升降机。为了测试他的设想，设计师制作了一个它的微缩模型。在这个模型中，点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于模型的一个拐角 O(0,0,0)O(0, 0, 0) 来定义的。模型中使用的杆可以用直线方程来建模。 主杆可…
  4. 4点 AA 和 BB 的坐标分别为 (0,2,0)(0, 2, 0) 和 (1,0,2)(1, 0, 2)，且平面 π1\pi_1 的方程为 r⋅(221)=4\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 4…
  5. 5为了应对不断增加的 COVID-19 病例，建立了一个临时隔离中心。其屋顶呈三角柱体形状。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于原点 OO 定义的，其中单位向量 i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 和 k\mathbf{k}…
  6. 6平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1: \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} = \alpha + 20, \; \alpha \in \mathbb{R},…
  7. 7在下图所示的三角形中，一个顶点为原点 O，另外两个顶点为 A 和 B，其中 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}，OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。三角形的中线是连接顶点（O、A…
  8. 8以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。点 CC 在 OBOB 上，使得 OC→=pOB→\overrightarrow{OC}=p\overrightarrow{OB}…
  9. 9平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:  r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1:\;\mathbf{r}\cdot \begin{pmatrix}\alpha\\7\\2\end{pmatrix} = \alpha + 20,\; \alpha \in \mathbb{R},…
  10. 10设点 AA 和点 BB 相对于原点 OO 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。 线段 ABAB 上的点 MM 满足 AM:MB=1:2AM : MB = 1 : 2。用 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}…
  11. 11以原点 O 为基准，点 A 和 B 的位置向量分别为 i−j+2k和2i+4j+ki - j + 2k\quad\text{和}\quad 2i + 4j + k。 证明 OA→\overrightarrow{OA} 垂直于 OB→\overrightarrow{OB}…
  12. 12以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = a 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = b，其中 aa 不平行于 bb。点 PP 在 ABAB 的延长线上，且满足…
  13. 13相对于原点 OO，点 AA 和 BB 分别具有非零且不平行的位置向量 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。平面 pp 的方程为 r⋅n=0\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = 0。 已知 a⋅n=b⋅n≠0\mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{n} \ne 0…
  14. 14以原点 OO 为基准，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}。已知 a+b−c\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}…
  15. 15三个非零向量 p\mathbf{p}、q\mathbf{q} 和 r\mathbf{r} 满足 3p×q=r×p3\mathbf{p} \times \mathbf{q} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}。求 p\mathbf{p}…
  16. 16点 A, B 和 C 的位置向量分别为 2i,  3j2i,\;3j 和 4k4k。求一个垂直于包含 A, B 和 C 的平面 Π1\Pi_1 的向量。 平面 Π2\Pi_2 的方程为 r=i+4j+2k+λ(i−j)+μ(j−k).\mathbf{r} = i + 4j + 2k + \lambda(i - j) + \mu(j - k).…
  17. 17在图中，点 OO 是直角棱锥顶角为 VV、底面为长方形 ABCDABCD 的中心。相互垂直的单位向量 i, j, k 分别平行于 AB, BC, OV。ABAB、BCBC 和 OVOV 的长度分别为 1212 单位、66 单位和 66…
  18. 18OABCOABC 是一个菱形。点 AA 和 CC 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OC→=c\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}。点 MM 是该菱形的中心，且角 AOCAOC 为…
  19. 19分别由方程 2x+y=12x+y=1 和 8x+ay+z=48x+ay+z=4 给出的两个平面 p1p_{1} 和 p2p_{2} 相交于一条直线 LL，该直线包含点 A(0,1,0)A(0,1,0)。 证明 a=4a=4，并由此求直线 LL 的向量方程。 另一个点 BB…
  20. 20相对于原点 OO，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}，其中 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}…
  21. 21相对于原点 OO，AA、BB 和 CC 点的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 3a+b3\mathbf{a}+\mathbf{b}。点 DD 在 ABAB 上，满足 AD=k ABAD = k\,AB，其中…
  22. 22平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程分别为 r=(4−13)+s(3−17)+t(1−312)\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}…
  23. 23以原点 O 为基准，点 A, B, C, D 的位置向量分别为 2i−j+k,i−2k,−i+3j+2k,−i+j+4k,2i - j + k,\quad i - 2k,\quad -i + 3j + 2k,\quad -i + j + 4k, 。求： 一个垂直于平面 OAB 的向量。 平面…
  24. 24以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。 点 CC 的位置向量为 a+b\mathbf{a} + \mathbf{b}。指出由 O,A,BO, A, B 和 CC…
  25. 25在一个电脑游戏中，一个斜面可以建模为包含三个点 A(1,0,−3)A(1, 0, -3)、B(1,4,−15)B(1, 4, -15) 和 C(2,3,−14)C(2, 3, -14) 的平面 pp。 证明 pp 的方程为 r⋅(231)=−1\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = -1…
  26. 26以原点 OO 为参考点，点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}。OAOA 上的点 CC 满足 OC:OA=1:3OC : OA = 1 : 3…
  27. 27平面 pp 通过点 AA、BB 和 CC，它们的坐标分别为 (0,1,1)(0, 1, 1)、(2,−1,4)(2, -1, 4) 和 (−2,−1,0)(-2, -1, 0)。 证明平面 pp 的笛卡尔方程为 2x−y−2z=−32x - y - 2z = -3。 直线 ll…
  28. 28平面 Π\Pi 的方程为 2x−3y+6z=72x-3y+6z=7，直线 ll 的方程为 r=8i−2j+8k+t(3i−j+2k)\mathbf{r}=8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+8\mathbf{k}+t(3\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})…
  29. 29相对于原点 OO，点 PP 和 QQ 的位置向量分别为 4i+4j+3k4\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k} 和 8i+8j−k8\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - \mathbf{k}。 求直线…
  30. 30平面 π1\pi_1 包含点 (2,−2,1)(2,-2,1) 和直线 r=(018)+λ(023),\mathbf{r} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 8\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix},…
  31. 31为了构建虚拟现实（VR）体验，需要创建一个包含几何模型的虚拟世界。以原点 OO 为基准，虚拟世界中的每个点都表示为坐标 (x,y,z)(x, y, z)。透视投影是一种将虚拟世界中的点投影到虚拟屏幕上，同时保持物体在不同距离下的缩放特性的技术。在…
  32. 32以原点 OO 为参考点，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别表示为 OA→\overrightarrow{OA}、OB→\overrightarrow{OB} 和 OC→\overrightarrow{OC}，使得 OA→=(1−λ)OB→+λOC→,\overrightarrow{OA} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OB} + \lambda\overrightarrow{OC},…
  33. 33四面体 OABCOABC 具有四个三角形面，顶点 OO 位于原点。AA、BB 和 CC 的坐标分别为 (9,0,0)(9, 0, 0)、(0,2,0)(0, 2, 0) 和 (0,0,3)(0, 0, 3)（见图）。 求面 ABCABC 的笛卡尔方程。 求面 ABCABC…
  34. 34直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 x−13=y−2a,z=1与r=(120)+λ(−111),λ∈R\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{a}, z = 1 \quad \text{与} \quad \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}…
  35. 35平面 π1\pi_1 的方程为 r⋅(251)=11.\mathbf{r}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}=11. 平面 π2\pi_2 经过点 A(1,−1,2),  B(2,3,4)A(1,-1,2),\; B(2,3,4) 和…
  36. 36甲烷 ( CH_4 ) 是一种具有四面体结构的化合物。4 个氢 (H) 原子构成一个正四面体，碳 (C) 原子位于中心。 设碳（C）原子的中心为点 P，4 个氢（H）原子的中心为点 Q、R、S 和 T。P、Q、R、S 和 T 的坐标分别为…
  37. 37一个位于水平平坦地面上的机场必须管理飞机从其跑道起飞的飞行航线。这些飞行航线可以假设为直线，飞机可以假设为质点。 在下方图中，标记的点是相对于机场上坐标为 (0,0,0)(0,0,0) 的原点 O 定义的。xx 轴、yy 轴和 zz 轴的方向分…
  38. 38相对于原点 O，点 A 和 B 的位置向量分别为 a\mathbf{a} and b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。点 M 是 OA 的中点，点 N 在 OB 上…
  39. 39平面 Π1\Pi_1 与 Π2\Pi_2 相交于直线 ll，其向量方程分别为 r=2i+4j+6k+θ1(2i+3k)+ϕ1(−4j+5k),\mathbf{r} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k} + \theta_1(2\mathbf{i} + 3\mathbf{k}) + \phi_1(-4\mathbf{j} + 5\mathbf{k}),…
  40. 40直线 ll 的方程为 1−x=z−α2,y=11 - x = \frac{z - \alpha}{2}, y = 1，其中 α\alpha 为常数。 已知直线 ll 与 yzyz 平面的交点为 (0,1,5)(0, 1, 5)，证明 α=3\alpha = 3。 以…
  41. 41相对于原点 OO，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。OAOA 上的点 PP 满足 OP:PA=2:3OP : PA = 2 : 3…
  42. 42相对于原点 OO，两个点 AA and BB 的位置向量分别为 a=2i−j\mathbf{a} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} 和 b=αk\mathbf{b} = \alpha \mathbf{k}，其中 α\alpha…
  43. 43相对于原点，定点 AA 的位置向量为 a\mathbf{a}。直线 ll 的方程为 r=sd\mathbf{r} = s\mathbf{d}，其中 ss 是一个参数，d\mathbf{d} 是一个与 a\mathbf{a} 不平行的…
  44. 44平面 Π1\Pi_1 经过点 A(1,4,2)A(1,4,2)、 B(1,0,5)\ B(1,0,5) 和 C(0,8,−1)C(0,8,-1)。 求 Π1\Pi_1 的笛卡尔方程。 求点 P(2,1,2)P(2,1,2) 到平面 Π1\Pi_1 的最短距离。 第二个平面 Π2\Pi_2 经…
  45. 45以原点 O 为基准，点 N、P 和 Q 的位置向量分别为 n\mathbf{n}、p\mathbf{p} 和 q\mathbf{q}，且平面 Π\Pi 的方程为 r⋅n=0\mathbf{r}\cdot\mathbf{n}=0。已知 p⋅n=q⋅n≠0\mathbf{p}\cdot\mathbf{n}=\mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\ne 0…
  46. 46相对于原点 OO，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 3a+b3\mathbf{a}+\mathbf{b}。点 DD 在 ABAB 上，使得 AD=k ABAD = k\,AB，其…
  47. 47相对于原点 O，设 P、Q 和 R 为不同的点，其位置向量分别为 p\mathbf{p}、q\mathbf{q} 和 r\mathbf{r}。 证明：(r−p)×(r−q)=p×q+q×r+r×p (\mathbf{r}-\mathbf{p})\times(\mathbf{r}-\mathbf{q}) = \mathbf{p}\times\mathbf{q} + \mathbf{q}\times\mathbf{r} + \mathbf{r}\times\mathbf{p}…
  48. 48一名设计师想要建造一个倾斜的屋顶，该屋顶连接在一面垂直的矩形墙壁上，该墙壁位于水平地面上方，如下图所示。假设屋顶和墙壁的厚度均可忽略不计。 点 (x,y,z)(x, y, z) 的定义是相对于墙角 O(0,0,0)O(0,0,0) 而言的，单位为米。单位向量 i\mathbf{i}…
  49. 49两条直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 x−12=−z−1,y=2\frac{x - 1}{2} = -z - 1, y = 2 与 x+3=4−y=z+2x + 3 = 4 - y = z + 2。 判断 l1l_1 与 l2l_2 是否相交，并写出交点坐标（若有）…
  50. 50平面 p1p_1 的方程为 x−y+z=0x - y + z = 0，平面 p2p_2 的方程为 x+y+z=2x + y + z = 2。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 之间的锐角。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 交线的向量方程。 以原点 OO…
  51. 51以原点 OO 为基准，三个点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 3i−2j+5k3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}、i+4j−2k\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 2\mathbf{k}…
  52. 52直线 ll 的方程为 x−1−2=y=z+74\frac{x-1}{-2}=y=\frac{z+7}{4}，平面 pp 的方程为 x−z=2x-z=2。 求 ll 与 pp 之间的锐角。 求 ll 与 pp 相交点的坐标。 从坐标为 (1,0,−7)(1,0,-7)…
  53. 53如图所示，用 6 个边长为 5 个单位的正三角形拼成一个正六边形。通过用 OP→\overrightarrow{OP} 和 OR→\overrightarrow{OR} 表示 OQ→\overrightarrow{OQ}，或用其他方法，求 OP→⋅(OP→+OQ→+OR→)\overrightarrow{OP}\cdot(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR})…
  54. 54以原点 OO 为基准，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、b\mathbf{b} 和 c\mathbf{c}。已知 a+b−c\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}…
  55. 55以原点 OO 为参考，点 AA、BB 和 CC 满足 OA→=(21−1)\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}、OB→=(01−2)\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}…
  56. 56以原点 O 为基准，点 A 的位置向量为 −i−3j+3k-\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}。平面 π\pi 和直线 ll 的方程分别为 r=(421)+λ(−132)+μ(23−4)\mathbf{r} = \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -4\end{pmatrix}…
  57. 57以原点 OO 为参考，设 PP、QQ 和 RR 是三个不同的点，其位置向量分别为 p\mathbf{p}、q\mathbf{q} 和 r\mathbf{r}。 证明 (r−p)×(r−q)=p×q+q×r+r×p(\mathbf{r}-\mathbf{p})\times(\mathbf{r}-\mathbf{q}) = \mathbf{p}\times\mathbf{q} + \mathbf{q}\times\mathbf{r} + \mathbf{r}\times\mathbf{p}…
  58. 58点 PP 和 QQ 的位置向量分别为 3i+4j−k3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-\mathbf{k} 和 5i+7j+6k5\mathbf{i}+7\mathbf{j}+6\mathbf{k}。 平面 Π\Pi 过点 QQ 且垂直于…
  59. 59相对于原点 OO，两个定点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。点 PP 的位置向量 p\mathbf{p} 由 p=λa+(1−λ)b\mathbf{p}=\lambda\mathbf{a}+(1-\lambda)\mathbf{b}…
  60. 60玩家在虚拟现实游戏中控制一个角色，其中点 (x,y,z)(x,y,z) 是相对于固定点 OO 定义的。长度单位为米，且我们假设角色在点与点之间沿直线移动。 起初，角色位于坐标为 (−3,4,−1)(-3,4,-1) 的点 AA。角色首先沿着平行于 i−3j\mathbf{i}-3\mathbf{j}…