已知椭圆$C： \dfrac {x^{2}}{3}+ \dfrac {y^{2}}{2}=1$上的动点$P$与其顶点$A(- \sqrt {3},0)$，$B( \sqrt {3},0)$不重合． $($Ⅰ$)$求证：直线$PA$与$PB$的斜率乘积为定值； $($Ⅱ$)$设点$M$，$N$在椭圆$C$上，$O$为坐标原点，当$OM/\!/PA$，$ON/\!/PB$时，求$\triangle OMN$的面积．

1. 设出点 $P$ 的坐标并利用椭圆方程表示 $y_0^2$

设动点 $P(x_0, y_0)$，其中 $x_0 \neq \pm \sqrt{3}$．
因为点 $P$ 在椭圆 $C: \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 上，所以有 $\dfrac{x_0^2}{3} + \dfrac{y_0^2}{2} = 1$，
变形式可得 $y_0^2 = 2\left(1 - \dfrac{x_0^2}{3}\right) = \dfrac{2}{3}(3 - x_0^2)$．

2. 表示直线 $PA$ 与 $PB$ 的斜率并计算其乘积

已知 $A(-\sqrt{3}, 0)$，$B(\sqrt{3}, 0)$，则直线 $PA$ 和 $PB$ 的斜率分别为：
$k_{PA} = \dfrac{y_0}{x_0 + \sqrt{3}}, \quad k_{PB} = \dfrac{y_0}{x_0 - \sqrt{3}}$
两斜率之积为：
$k_{PA} \cdot k_{PB} = \dfrac{y_0}{x_0 + \sqrt{3}} \cdot \dfrac{y_0}{x_0 - \sqrt{3}} = \dfrac{y_0^2}{x_0^2 - 3}$
将 $y_0^2 = \dfrac{2}{3}(3 - x_0^2)$ 代入上式，得：
$k_{PA} \cdot k_{PB} = \dfrac{\dfrac{2}{3}(3 - x_0^2)}{x_0^2 - 3} = -\dfrac{2}{3}$
故直线 $PA$ 与 $PB$ 的斜率乘积为定值 $-\dfrac{2}{3}$．

1. 由平行关系确定直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率关系

设直线 $OM$ 的斜率为 $k_1$，直线 $ON$ 的斜率为 $k_2$．
因为 $OM \parallel PA$，$ON \parallel PB$，所以 $k_1 = k_{PA}$，$k_2 = k_{PB}$．
由第 $(\text{I})$ 问结论可得 $k_1 \cdot k_2 = -\dfrac{2}{3}$．

2. 联立直线与椭圆方程，求出 $M, N$ 横坐标平方的表达式

设直线 $OM$ 的方程为 $y = k_1 x$，代入椭圆方程 $\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 得：
$\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{k_1^2 x^2}{2} = 1 \implies x^2\left(\dfrac{2 + 3k_1^2}{6}\right) = 1 \implies x_M^2 = \dfrac{6}{3k_1^2 + 2}$
同理，设直线 $ON$ 的方程为 $y = k_2 x$，可得：
$x_N^2 = \dfrac{6}{3k_2^2 + 2}$
将 $k_2 = -\dfrac{2}{3k_1}$ 代入 $x_N^2$ 的表达式：
$x_N^2 = \dfrac{6}{3\left(-\dfrac{2}{3k_1}\right)^2 + 2} = \dfrac{6}{\dfrac{4}{3k_1^2} + 2} = \dfrac{9k_1^2}{3k_1^2 + 2}$

3. 利用三角形面积公式计算 $\triangle OMN$ 的面积

由坐标几何面积公式，$\triangle OMN$ 的面积为：
$S = \dfrac{1}{2}|x_M y_N - x_N y_M| = \dfrac{1}{2}|x_M (k_2 x_N) - x_N (k_1 x_M)| = \dfrac{1}{2}|x_M x_N (k_1 - k_2)|$
对 $S^2$ 进行计算：
$S^2 = \dfrac{1}{4} x_M^2 x_N^2 (k_1 - k_2)^2$
其中 $x_M^2 x_N^2 = \dfrac{6}{3k_1^2 + 2} \cdot \dfrac{9k_1^2}{3k_1^2 + 2} = \dfrac{54k_1^2}{(3k_1^2 + 2)^2}$，且
$(k_1 - k_2)^2 = \left(k_1 + \dfrac{2}{3k_1}\right)^2 = \dfrac{(3k_1^2 + 2)^2}{9k_1^2}$
代入可得：
$S^2 = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{54k_1^2}{(3k_1^2 + 2)^2} \cdot \dfrac{(3k_1^2 + 2)^2}{9k_1^2} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{54}{9} = \dfrac{3}{2}$
因此，$S = \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$．