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可分离变量微分方程

求解形式为 $\dfrac{dy}{dx}=\mathrm{f}(x)\,\mathrm{g}(y)$ 的微分方程的通解和特解，包括通过给定换元法将给定的微分方程化简为该形式。

这个知识点的练习题

1曲线上的点 $(x,y)$ 满足方程 $x = \tfrac{1}{2}t^2 - 2t$ 和 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2t - 1}$ 其中 $t$ 为参数， $t > 2$ 。已知当 $t = 4$ …
2在一个大城镇中，首次发现某种病毒 $t$ 天后感染该病毒的人数为 $x$ 。假设感染率与 $x$ 成正比。起初有 5 人感染该病毒，而在首次发现病毒 30 天后，有 5120 人感染该病毒。在发现病毒 30 天后，人们发现了该病毒的治疗方法…
3考虑二阶微分方程 $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + a\frac{dx}{dt} = b,$ where $a$ and $b$ are non-zero constants and $\frac{dx}{dt} \ne \dfrac{b}{a}$ …
4一杯刚泡好的茶，初始温度为 $85^\circ\text{C}$ ，被放在一间室温为 $25^\circ\text{C}$ 的房间里冷却。20分钟后，茶的温度为 $55^\circ\text{C}$ 。已知茶温的变化率与茶温与室温之差成正比。…
5在一个大城镇中，在首次发现某种病毒 $t$ 天后，感染该病毒的人数为 $x$ 。假设感染率与 $x$ 成正比。起初有 5 人感染该病毒，在首次发现该病毒 30 天后，有 5120 人感染。证明 $x = 5(2)^{\frac{t}{3}}$ …
6变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程 $\pi \dfrac{dy}{dx} + y(3 - \pi \tan x) = 0$ 。通过代换 $y = z\sec x$ ，证明 $\dfrac{dz}{dx} = -\dfrac{3z}{\pi}$ …
7在可再生自然资源的采收中，理想的情况是制定政策以允许最大程度地采收自然资源，同时又不使资源消耗到可持续水平以下。针对太平洋某一特定区域野生鲑鱼种群数量变化率，设计了一个简化的采收模型，公式如下： $\frac{\text{d}P}{\text{d}t} = P(4 - P) - h,$ …
8已知 $z = e^{2x}\frac{dy}{dx}$ ，用 $x$ 、 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 表示 $\frac{dz}{dx}$ 。由此证明微分方程 $\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\frac{dy}{dx} = e^{-1-4x}$ …
9一个曲线族由微分方程 $xy\,\frac{dy}{dx} = x^{2} + y^{2}$ 定义。通过代换 $y = ux$ （其中 $u$ 是 $x$ 的函数），求出该曲线族的表达式，并写成 $y^{2} = f(x)$ 的形式。…
10在军事演习中，跳伞员从静止的直升机上跳下，他们的运动由贴在身体上的传感器进行追踪。一名跳伞员从直升机上垂直跳下。在时间 t 秒时，跳伞员在直升机下方 x 米处，速度为 v ms^{-1}。他受到一个向下的大小为 9.8 ms^{-2} 的重…
11斯托克斯定律指出，当半径为 $R$ 的球形物体在流体中以速度 $v$ 下落时，作用在球体上的阻力 $F$ 由下式给出： $F = -6\pi \eta R v ,$ 其中 $\eta$ 是流体的黏度系数。下表显示了在 $25 ^\circ\text{C}$ …
12变量 $x$ 和 $y$ 由微分方程 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = 2\mathrm{e}^{-2x} .$ 相关联。求解该微分方程。由此求出一条可能具有斜渐近线的解曲线，并给出该斜渐近…
13一个温度为 $160^\circ\text{C}$ 的加热金属块被放置在室温为 $30^\circ\text{C}$ 的实验室中冷却。金属块被留在实验室 $t$ 分钟后的温度 $T$ （单位： $^\circ\text{C}$ ）被建模为函数 $T(t)$ …
14通过代换 $u = x - y$ ，求解微分方程 $\dfrac{dy}{dx} + 4(x - y)^2\cos^2 x = \sin^2 x.$ 一种用于治疗糖尿病的新药以每天 $R$ 毫克的恒定速率输给患者。药物从患者体内流失的速率…
15当 $N$ 单位的振金（Vibranium）与 $M$ 单位的氪石（Kryptonite）发生反应时，开始形成化学物质乌鲁（Uru），其中 $M < N$ 。设 $y$ 表示反应发生 $t$ 小时后生成的乌鲁单位数。该化学反应的微分方程由下…
16已知 $2xy\dfrac{dy}{dx} = x^{2} - y^{2}$ ，其中 $x>0$ ， $y<0$ 。通过换元 $u = \dfrac{y}{x}$ ，证明该微分方程可以转化为 $\dfrac{2u}{1-3u^{2}}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x}.$ …
17通过引入代换 $w=\dfrac{y}{t^{2}}$ ，证明微分方程 $t\dfrac{dw}{dt}=w\!\,^{2}t^{2}+2wt-2w$ 的通解为 $w=\dfrac{1}{t^{2}}\left(\dfrac{2Ae^{2t}}{1-Ae^{2t}}\right)$ …
18在一个化学反应中，化合物 X 由两种化合物 Y 和 Z 反应生成。在反应开始后 t 秒时，存在的 X、Y 和 Z 的质量（以克为单位）分别为 $x$ 、 $15 - x$ 和 $25 - x$ 。在任何时刻，X 的生成速率与此时存在的 Y 和…
19在一个拥有 500 万人口的城市中，一家新公司的客户数量增长速率与非其客户的人数成正比。该公司认定，为了使其业务盈利，在任何时间点它必须拥有至少 100 万客户。该公司在运营第三年年底时拥有 100 万客户，其初始客户基数为 0。假设在任…
20一族曲线由微分方程 $x\dfrac{dy}{dx}-y=x(x-y)$ 给出。通过代换 $y=vx$ ，证明该曲线族可表示为 $y = x(1-Ae^{-x})$ 。在同一个图中，画出对应于正值 $A$ 的该曲线族中的三条曲线。求对应于…
21在某一特定的化学反应中，每 2 克 $U$ 与 1 克 $V$ 结合并转化为 3 克 $W$ 。设 $u$ 、 $v$ 和 $w$ 分别表示在时间 $t$ （以分钟为单位）时存在的 $U$ 、 $V$ 和 $W$ 的质量（以克为单位）。根据质量作用定律…
22[剑桥] 在一项 chemical reaction 中，化合物 $X$ 由化合物 $Y$ 生成。在反应开始后 $t$ 秒时，存在的 $X$ 和 $Y$ 的质量（以克为单位）分别为 $x$ 和 $y$ 。在整个反应过程中，两种物质的质…
23葡萄糖是人体血液中的一种糖，身体利用它来提供能量。如果不进行治疗，长期低血糖会引起健康问题。在上午 10:00，患者通过静脉滴注以每小时 $r$ 单位葡萄糖的恒定速率摄入葡萄糖。已知血液中的葡萄糖被身体吸收的速率与血液中现存的葡萄糖量成正…
24为了准备大选，一个政党研究了通过在社交媒体平台 Instantglam 上上传特定视频来传播信息的有效性。已观看该视频的 Instantglam 用户数量的增长率与尚未观看该视频的 Instantglam 用户数量成正比。在视频上传 $t$ …
25证明通过代换 $y = ux^2$ ，微分方程 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} - \frac{2y}{x} = x^3$ 可以化简为 $\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = x$ 。由此求出 $y$ …
26S-I 模型用于研究不同情景下传染病的传播。在本题中，假设在整个考虑期间，我们研究的是一个规模恒定为 $N$ 的封闭社区中的均匀人群。人群被分为两组：一组是患有该疾病的已感染个体，另一组是健康且易感的个体，后者在与已感染个体进行某种形式的接…
27第一部分：纯粹数学 [40 分] (i) 证明换元 $u = x^2 + y^2$ 将微分方程 [y \frac{dy}{dx} + x = \sqrt{x^2 + y^2}] 化简为 [\frac{du}{dx} = 2\sqrt{…
28变量 $w$ 、 $x$ 和 $y$ 通过以下微分方程联系在一起： $e^{2x}\\frac{dw}{dx}=w^{2}$ 以及 $\\frac{dy}{dx}=w\,.$ 验证 $w=\\dfrac{2}{e^{-2x}+A}$ 是…
29已知 $z = e^{2x}\frac{dy}{dx}$ ，用 $x$ 、 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 表示 $\frac{dz}{dx}$ 。由此证明微分方程 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} = e^{-1-4x}$ …
30一位流行病学家正在研究蚊子传播的疾病——登革热在 A 镇的传播情况。 $P$ 定义为研究开始 $t$ 年后感染人数（以千人为单位）。该流行病学家预测 $P$ 的增长率与已感染人数和未感染人数的乘积成正比。已知 A 镇有 1 万人，其中最初有…
31[剑桥/9709/2009] 一个地下储水罐正在被注满液体（如图所示）。初始时储水罐是空的。在开始注水后 $t$ 小时，液体的体积为 $V\text{ m}^3$ ，液体的深度为 $h\text{ m}$ 。已知 $V = \frac{4}{3}h^3$ …
32求 $\dfrac{d}{dx}e^{-x^{2}}$ 。由此求 $\displaystyle \int x^{3}e^{-x^{2}}\,dx$ 。通过使用代换 $z = e^{x^{2}}y$ ，求 $\dfrac{dy}{dx}-2xy = x^{3}$ …
33植物学家正在研究过度砍伐如何影响东南亚某国森林中树木的数量。 $t$ 年后森林中的树木数量记为 $x$ （以千为单位）。提出的一种简单模型是，树木数量的增加速率与其数量大小成正比。已知树木以每年 3 千棵的恒定速率被砍伐，且当 $x = p$ …
34在一个拥有 500 万人口的城市中，一家新公司的客户数量增长率与非其客户的人数成正比。该公司认定，为了使业务盈利，在任何时间点，它必须拥有至少 100 万客户。该公司在运营第三年结束时拥有 100 万客户，其初始客户数量为 0。假设在任何…
35A heated metal block at $160^\circ$ C is left to cool in a laboratory with an ambient temperature of $30^\circ$ C. The te…
36某晶圆制造公司采用区熔法（floating-zone method）来提纯多晶硅锭，每个硅锭具有均匀的横截面积，长度为 200 cm。该方法包括将杂质浓度为 $C_0$ 原子/ $\text{cm}^3$ 的多晶硅锭放置在单个籽晶的顶部。然后…
37在学习理论中，一个人在时间 $t$ 分钟内记忆的材料量 $y$ 单位满足微分方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = k(10 - y),$ 其中 $k$ 是一个正常数。最初，记忆的材料量为零单位。…
38在化学反应中，化合物 X 和 Y 反应生成一种产物。设 $x$ 和 $y$ 分别表示在实验开始后 $t$ 分钟时， $X$ 和 $Y$ 的浓度，单位为摩尔每千升（mol/kL）。 $X$ 和 $Y$ 的初始浓度分别由 $x_0$ 和 $y_0$ …
39[剑桥/9709/2004] 一个矩形蓄水池的水平底面积为 1000 $\text{m}^2$ 。在时间 $t = 0$ 时，蓄水池是空的，水开始以 30 $\text{m}^3\text{ s}^{-1}$ 的恒定速率流入。与此同时…
40吉姆将一根 8 m 长的杆 $XY$ 靠在一面垂直的墙上，如下图所示。点 $O, X$ 和 $Y$ 共面，其中 $O$ 是垂直墙面与水平地面的交点。在时间 $t$ 秒时，端点 $X$ 和 $Y$ 距离 $O$ 的距离分别为 $x$ 和 $y$ …
41使用分部积分法（或其他方法），求 $\displaystyle \int \frac{1}{y}\ln y\,dy$ 。已知 $y>1$ 且 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{\ln y}$ ，求用…
42彼得在一个被建模为 $xy$ 坐标平面的平坦地面上拉着一辆玩具车。彼得最初位于原点 $O$ ，玩具车位于 $y$ 轴上的 $W_0(0,6)$ 处。玩具车用一根长度为 6 单位的绳子系在他身上。当他沿 $x$ 轴正方向（由点 $P$ 给出）移…
43已知 $2xy\,\dfrac{dy}{dx} = x^{2} - y^{2}$ ，其中 $x > 0$ ， $y < 0$ 。通过代换 $u = \dfrac{y}{x}$ ，证明该微分方程可以转化为 $\dfrac{2u}{1-3u^{2}}\,\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x}$ …
44一个小金属球从一个高圆柱形容器内的液体表面被释放。金属球在液体中垂直下落，并测得在时间 $t$ 秒内小球下落的距离为 $x$ cm。小球在时间 $t$ 秒时的速度为 $v\text{ cm s}^{-1}$ 。释放小球的方式使得当 $t = 0$ …
45使用分部积分法（或其它方法），求 $\displaystyle\int \frac{1}{y}\ln y\,dy$ 。已知 $y>1$ 且 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{y}{\ln y}$ ，求用 $x$ …
46分子几何结构是分子中原子的三维排列。图 1 展示了一个特定分子的分子几何结构，它呈四面体形状，一个中心原子位于四面体内部，另外 4 个原子位于四面体的顶点。点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 代表四面体的 4 个顶点，并与由点 $E$ …
47已知 $2xy\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = x^2 - y^2$ ，其中 $x > 0$ ， $y < 0$ 。利用代换 $u = \frac{y}{x}$ ，证明该微分方程可以转化为 $\frac{2u}{1-3u^2}\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = \frac{1}{x}$ …
48[剑桥/H2 数学 2007] 电路中在时间 $t$ 时的电流 $I$ 满足微分方程 $4\frac{\text{d}I}{\text{d}t} = 2 - 3I.$ 已知当 $t = 0$ 时 $I = 2$ ，求用 $t$ 表…
49在化学反应中，化合物 $X$ 是由两种化合物 $Y$ 和 $Z$ 反应生成的。在反应开始后 $t$ 秒时，存在的 $X$ 、 $Y$ 和 $Z$ 的质量（以克为单位）分别为 $x$ 、 $15 - x$ 和 $25 - x$ 。在任何时刻， $X$ …
50Jesse 将一根长为 6 米的杆子 $XY$ 靠着，其位置如下图所示。在时间 $t$ 秒时，两端 $X$ 和 $Y$ 距离 $O$ 的距离分别为 $x$ 和 $y$ 米。写出联系 $x$ 与 $y$ 的方程。当杆子下滑时，Jesse…
51已知 $\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = (w - 1)(2 - w), \quad \text{for } 1 < w < 2. \quad \mathbf{(I)}$ 又已知 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 - (3 + 2x)\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) + x^2 + 3x + 1 = 0, \quad\text{for }\; 1 < \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - x < 2. \quad (\mathrm{II})$ …
52在一个化学反应中，化合物 X 和 Y 反应生成一种产物。设 $x$ 和 $y$ 分别表示在实验开始 $t$ 分钟后，X 和 Y 的浓度，单位为摩尔每千升 (mol/kL)。 X 和 Y 的初始浓度分别由 $x_0$ 和 $y_0$ mol/…
53方程为 $y = \mathrm{f}(x)$ 的曲线在点 $(x, y)$ 处的切线通过点 $(a, x)$ ，其中 $a$ 是正常数且 $x < a$ 。写出一个联系 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 、 $a$ …
54通过引入换元 $x = a\tan\theta$ ，证明 $\displaystyle \int \frac{1}{x\sqrt{x^2 + a^2}}\,dx = \frac{1}{a}\ln\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2} + a} + c ,$ …
55一名“红狮”（Red Lion）跳伞运动员从直升机上跳下。他离开直升机时的速度为零，他的速度 $v\text{ ms}^{-1}$ 满足微分方程 $\frac{\text{d}v}{\text{d}t} = 2\text{e}^{-0.1t}.$ …
56一个博物学家团队正在研究某岛屿上野猪数量的变化。据建议，在时间 $t$ 年时，野猪的数量为 $x$ 百只，可以用微分方程 $\frac{dx}{dt}=\frac{1}{10}x(5-x).$ 来建模。已知当 $t = 0$ 时 $x = 1$ …
57在一个有 500 万人口的城市中，一家新公司的客户数量增长率与非其客户的人数成正比。该公司确定，为了使业务盈利，它在任何时间点都必须拥有至少 100 万客户。该公司从 0 个客户起步，在运营第三年结束时拥有 100 万客户。假设在任何时间…
58下图展示了美国密苏里州圣路易斯市的纪念碑——大拱门（Gateway Arch）。该拱门高 192 米，宽 192 米。拱门可以用下图所示的一部分曲线来建模。该曲线的最高点位于 $y$ 轴上，且曲线关于 $y$ 轴对称。两个端点均位于 $x$ …
59船只漏油对湖中的鱼群数量有重大影响。漏油发生 $t$ 天后鱼群的数量（以千为单位）记为 $x$ 。统计数据表明，鱼群数量的增长速率与数量的平方成反比，而由于漏油导致的鱼类死亡速率与鱼群数量成正比。当 $x = 0.5$ 时，鱼群数量保持恒定。…