数学知识点English

通项公式

通项公式 $\binom{n}{r} a^{n-r} b^{r}$ （ $0 \leqslant r \leqslant n$ ）的应用（不要求掌握最大项和系数性质）

这个知识点的练习题

1解释为什么 $\\left(kx^3 + x\\right)^{12}$ 展开式中的所有项都不含 $x$ 的奇数次幂。已知在 $\\left(1 - \\frac{x}{2}\\right)^2 \\left(kx^3 + x\\right)^{12}$ …
2已知 $\left(x + \dfrac{k}{x^2}\right)^n$ 是一个二项式展开式，其中 $k$ 和 $n$ 是正常数。用 $k$ 表示出展开式 $\left(x + \dfrac{k}{x^2}\right)^5$ 的前…
3计算 $\left(x - \frac{1}{2x^5}\right)^{18}$ 的二项式展开式中不含 $x$ 的项（常数项）。
4二项式 $(3 \sqrt[3]{x}+ \dfrac {1}{x})^{n}$ 的展开式中的各项系数和为 $P$ ，所有二项式系数和为 $Q$ ，若 $P+Q=272$ ，求展开式中的常数项．
5解释为什么 $\left(ax + \dfrac{2}{x}\right)^6$ 的二项式展开式中仅包含 $x$ 的偶数次幂。写出并简化 $\left(1 - \dfrac{x}{a}\right)^3$ 按 $x$ 升幂排列的展开式的前…
6通过考虑 $\left(x + \frac{1}{ax^2}\right)^7$ 二项式展开式中的通项（其中 $a$ 为常数），解释为什么每一项都与 $x$ 相关。在 $\left(x + \frac{1}{ax^2}\right)^7$ …
7在 $\left(x^2 - \frac{m}{2x}\right)^{12}$ 的展开式中，其中 $m$ 是正常数，不含 $x$ 的常数项为 126 720。证明 $m = 4$ 。由此求 $\left(x^2 - \frac{m}{2x}\right)^{12}(8x^9 + 5)$ …
8写出二项式展开式 $\left(2x + \dfrac{1}{2x^3}\right)^{12}$ 的通项 $T_{r+1}$ 。求 $\left(\dfrac{1}{x^4} - 1\right)\left(2x + \dfrac{1}{2x^3}\right)^{12}$ …
9写出 $\left(x + \frac{5}{x}\right)^n$ 的二项式展开式的通项。已知在 $\left(x + \frac{5}{x}\right)^n$ 的展开式中存在常数项，证明 $n$ 必须是偶数。求 $\left(x + \frac{5}{x}\right)^{10}$ …
10写出 $\left(x^{2}+\dfrac{m}{x}\right)^{9}$ 按 x 的降幂展开式中的前三项，其中 $m$ 是一个整数。已知在 $\left(x^{2}+\dfrac{m}{x}\right)^{9}$ 的展开式中， $x^{3}$ …
11写出 $\left(1 - 4x\right)^{6}$ 展开式中的前四项。由此求出 $\left(3 + x^{2}\right)\left(1 - 4x\right)^{6}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数。解释为什么 $\left(2x + \frac{1}{x^{3}}\right)^{18}$ …
12 $(2x-\dfrac{1}{x})^{5}(x+\dfrac{1}{x})$ 的展开式中的常数项为 $(\quad)$ A. $20$ B. $-20$ C. $40$ D. $-40$
13通过考虑 $\left(x^{4}-\frac{1}{k x^{2}}\right)^{6}$ （其中 $k$ 是正常数）的二项式展开式中的通项，解释为什么该展开式中只有 $x$ 的偶数次幂。已知在 $\left(x^{4}-\frac{1}{k x^{2}}\right)^{6}$ …
14用 $a$ 和 $n$ 表示 $(2+x)^n$ 展开式中的第三项。写出 $(1-3x)^5$ 展开式中的前三项。在 $(1-3x)^5(2+ax)^6$ 的展开式中， $x$ 的系数为 $-384$ 。求 $a$ 的值。
15通过考虑 $\left(x^2 - \frac{1}{3x}\right)^9$ 的二项式展开式中的通项，解释为什么 $x$ 的次数总是能被 3 整除。求 $\left(x^2 - \frac{1}{3x}\right)^9 (1 + 3x^3)^2$ …
16写出并化简 $\left(2 - x\right)^7$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式中的前 3 项。求 $\left(1 - 8x + 24x^2\right)\left(2 - x\right)^7$ 展开式中 $x^2$ 的系数。…
17通过考虑 $\left(\dfrac{2}{x^3}-x^2\right)^{10}$ 展开式中的通项，说明为什么其中不含 $x^6$ 项。求 $\left(\dfrac{2}{x^3}-x^2\right)^{10}\left(3-\dfrac{x^6}{8}\right)$ …
18通过考虑 $\left(x^2 - \frac{1}{2x}\right)^{17}$ 的二项式展开式中的通项，解释为什么该展开式中没有常数项。
19 $(2x-\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{6}$ 的展开式中的常数项等于___.
20在 $\left(x + \frac{k}{x}\right)^5$ 的二项式展开式中（其中 $k$ 是正整数）， $\frac{1}{x^3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 的系数相同。求 $k$ 的值。在不展开所有项的情况下，解释为…
21已知 $\left(2x+1\right){\left(x-2\right)}^{6}={a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+…{a}_{7}{x}^{7}$ ． $($ Ⅰ $)$ 求 ${a}_{1}+{a}_{2}+…{a}_{7}$ …
22写出 $\left(px - \dfrac{q}{x}\right)^n$ 的二项式展开式中的通项，其中 $p$ 和 $q$ 是正整数。如果 $\left(px - \dfrac{q}{x}\right)^n$ 的二项式展开式中的第五项与…
23在 $(2x-1)^2\left(1+\dfrac{p}{x}\right)^8$ 的展开式中（其中 $p$ 是正常数），不含 $\dfrac{1}{x^3}$ 项。求常数 $p$ 的可能值。
24求展开式 $\left(\frac{a}{x}+3x^2\right)^6$ 按 $x$ 的升幂排列的前 $4$ 项，并化简每一项。已知在 $(2x^3-1)\left(\frac{a}{x}+3x^2\right)^6$ 的展开式中不含…
25设 $a= \int _{ 0 }^{ π }(\sin x+\cos x)dx$ ，且二项式 $(a \sqrt {x}- \dfrac {1}{ \sqrt {x}})^{n}$ 的所有二项式系数之和为 $64$ ，则其展开式中含 $x^{2}$ …
26求 $\left(2 - \dfrac{3}{x^{2}}\right)^{7}$ 按 $x$ 的降幂展开式的前 4 项，并化简每一项。由此，求 $(5x - 4x^{3})\left(2 - \dfrac{3}{x^{2}}\right)^{7}$ …
27已知在 $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^n$ 的展开式中存在关于 $x^2$ 的项，其中 $n$ 为正整数。求 $n$ 的最小可能值，并解释你的答案。当 $n = 7$ 时，证明在 $\left(\frac{48}{x^2} - x^4\right)\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^n$ …
28用 $a$ 和 $n$ 表示 $(2+x)^n$ 展开式中的第三项。写出 $(1-3x)^5$ 展开式的前三项。在 $(1-3x)^5 (2+ax)^6$ 的展开式中， $x$ 的系数为 $-384$ 。求 $a$ 的值。
29在 $\left(x + \frac{k}{x}\right)^5$ 的二项式展开式中，其中 $k$ 是正常数， $x^3$ 与 $x$ 的系数相同。求 $k$ 的值。
30求在二项式展开式 $\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^9.$ 中不含 $x$ 的项和含有 $\frac{1}{x^3}$ 的项。由此，求在展开式 $\left(3 - x^3\right)\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^9.$ …
31写出并化简 $\left(2 + \frac{x}{2}\right)^n$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式的前三项，其中 $n$ 为正整数。 $\left(\frac{4}{3} - 3x\right)\left(2 + \frac{x}{2}\right)^n$ …
32在 $\left(x^2 - \frac{1}{2x^4}\right)^n$ 的展开式中，第六项与 $x$ 无关。证明 $n$ 的值为 15，并求出第六项的值。由此，求展开式 $\left(x^2 - \frac{1}{2x^4}\right)^n (32 + 64x^6)$ …
33通过考虑 $\left(\frac{2}{x^2} + x^3\right)^{16}$ 的二项式展开式中的通项，解释为什么每一项都与 $x$ 相关。求 $\left(\frac{2}{x^2} + x^3\right)^{16} (4 - 3x^2)$ …
34写出 $\left(2 - \frac{x}{3}\right)^6$ 按 $x$ 的升幂排列的展开式中的前 3 项。所有项必须表示为最简形式。由此，求 $\left(2 - \frac{x}{3}\right)^6 \left(\frac{4}{x} - x\right)^2$ …
35写出并化简 $\left(x^2 + \frac{3}{x}\right)^{15}$ 的二项式展开式中的通项。由此确定 $\left(x^2 + \frac{3}{x}\right)^{15}$ 的二项式展开式中 $x^3$ 的系数。…
36已知在 $\left( x - \dfrac{k}{x^{3}} \right)^{8}$ 的二项式展开式中，常数项为 7，求正常数 $k$ 的值。利用在第 (a) 问中求得的 $k$ 值，证明在 $\left(1 + x^{4}\right)\left( x - \dfrac{k}{x^{3}} \right)^{8}$ …
37已知按 $x$ 的升幂排列， $(2+ax)^6$ 的二项式展开式的前三项分别为 $64 - 960x + bx^2$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。利用前面求得的值，求 $(1+3x^2)^5(2+ax)^6$ 展开式中 $x^3$ 的…