(2x−1x)6(2x-\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{6}的展开式中的常数项等于___.

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完整解法

1. 写出展开式的通项公式并整理 $x$ 的指数

根据二项式定理,(2x−1x)6(2x - \dfrac{1}{\sqrt{x}})^6 展开式的通项公式为:
Tr+1=(6r)(2x)6−r(−1x)rT_{r+1} = \binom{6}{r} (2x)^{6-r} \left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^r
将幂的形式整理得:
Tr+1=(6r)26−r(−1)rx6−rx−r2=(6r)26−r(−1)rx6−32rT_{r+1} = \binom{6}{r} 2^{6-r} (-1)^r x^{6-r} x^{-\frac{r}{2}} = \binom{6}{r} 2^{6-r} (-1)^r x^{6 - \frac{3}{2}r}

2. 求出常数项所对应的 $r$ 值

常数项即 xx 的指数为 0 的项,令:
6−32r=06 - \frac{3}{2}r = 0
解得:
r=4r = 4

3. 代入 $r$ 的值计算常数项

将 r=4r = 4 代入通项公式,得常数项为:
T5=(64)26−4(−1)4=15×22×1=15×4=60T_5 = \binom{6}{4} 2^{6-4} (-1)^4 = 15 \times 2^2 \times 1 = 15 \times 4 = 60

答案

60

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