已知点 A 为 (0,7)，点 B 为 (6,9)。

(a)
将 $\overrightarrow{AB}$ 表示为列向量。
(b)
直线 AB 的方程为 x + py + q = 0。

求 p 和 q 的值。
(c)
已知点 C 为 (12,2)。
1. ((i))
  M 是 BC 延长线上的一点，满足 $BM = 3\,CM$ 。
  
  求 M 的坐标。
2. ((ii))
  求线段 AC 的长度。
(d)
点 D 在直线 AB 的延长线上。
直线 CD 平行于 y 轴。
1. ((i))
  求 D 的坐标。
2. ((ii))
  用 $\overrightarrow{AB}$ 表示 $\overrightarrow{AD}$ 。

位置向量直线方程两点间距离向量数乘列方程解应用题两点间斜率用字母表示数 English

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完整解法

3(a)

1. Subtract the coordinates of A from the coordinates of B to get the column vector for $\overrightarrow{AB}$.

$A=(0,7)$ and $B=(6,9)$ .

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6-0\\9-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$

答案

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$

3(b)

1. Find the gradient of line $AB$ using the coordinates of $A$ and $B$.

For $A(0,7)$ and $B(6,9)$ ,
$m=\frac{9-7}{6-0}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

2. Form the equation of $AB$ and rewrite it in the given form to identify $p$ and $q$.

Using $A(0,7)$ and $m=\frac13$ ,
$y-7=\frac13(x-0)$
$3y-21=x$
$x-3y+21=0.$
Comparing with $x+py+q=0$ ,
$p=-3,\quad q=21.$

答案

$p=-3,\quad q=21$

3(c)((i))

1. Determine how far beyond C the point M is, using the ratio condition.

Since M is on $BC$ produced, the points are in the order $B, C, M$ .

Given $BM=3CM$ and $BM=BC+CM$ ,
$BC+CM=3CM$
$BC=2CM$
$CM=\frac12 BC$

2. Use the vector from B to C to extend beyond C and find the coordinates of M.

$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}12-6\\2-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}$

So
$\overrightarrow{CM}=\frac12\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}3\\-\frac72\end{pmatrix}$

Hence
$M=(12,2)+\left(3,-\frac72\right)$
$M=\left(15,-\frac32\right)$

答案

$(15,-\dfrac{5}{2})$

3(c)((ii))

1. Apply the distance formula using the coordinates of A and C.

A is $(0,7)$ and C is $(12,2)$ .

$AC=\sqrt{(12-0)^2+(2-7)^2}$
$=\sqrt{144+25}$
$=\sqrt{169}=13$

答案

$AC=13$

3(d)((i))

1. Use the fact that $CD$ is parallel to the $y$-axis to identify the $x$-coordinate of $D$.

Since $CD$ is parallel to the $y$ -axis, $C$ and $D$ have the same $x$ -coordinate.

Given $C=(12,2)$ ,
$x_D=12.$

2. Substitute $x=12$ into the equation of line $AB$ to find the $y$-coordinate of $D$.

From part (b), the equation of $AB$ is
$x-3y+21=0.$

Substitute $x=12$ :
$12-3y+21=0$
$33-3y=0$
$y=11.$

Therefore,
$D=(12,11).$

答案

$(12,11)$

3(d)((ii))

1. Find $\overrightarrow{AD}$ and compare it with $\overrightarrow{AB}$.

From earlier parts,
$A=(0,7),\quad D=(12,11),\quad \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}.$

$\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}12-0\\11-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}.$

Since
$\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix},$
therefore
$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}.$

答案

$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}$

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