将 $2x^2 - 6x - 12$ 表示为 $k(x - a)^2 - b$ 的形式，其中 $k$ 为整数。答案：... 由此，解方程 $2x^2 - 6x - 12 = 0$ 。答案：x = ... 或 ... 化简 $\frac{3x+1}{2x^2+11x+12} - \frac{1}{x+4}$ 。答案：...

一元二次方程分式加减一元一次方程数系与四则运算乘法公式整式乘法展开二次三项式因式分解一次式的加减 English

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完整解法

1(a)(i)

1. Complete the square and write the expression in the required form

\begin{aligned} 2x^2-6x-12 &=2(x^2-3x)-12\\ &=2\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]-12\\ &=2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{2}-12\\ &=2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{33}{2}. \end{aligned}

答案

$2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{33}{2}$

1(a)(ii)

1. Substitute the completed-square form and isolate the square term

From part (a)(i),
$2x^2-6x-12=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{33}{2}.$
So
$2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{33}{2}=0$
$2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{33}{2}$
$\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{33}{4}.$

2. Take square roots and solve for the two values of $x$

$x-\dfrac{3}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{33}{4}}$
$x-\dfrac{3}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{33}}{2}$
$x=\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{\sqrt{33}}{2}$
$x=\dfrac{3\pm\sqrt{33}}{2}.$

答案

$x=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}$ or $x=\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}$

1(b)

1. Factorise the quadratic denominator to identify the common denominator

$2x^2+11x+12=(2x+3)(x+4)$

So
$\frac{3x+1}{2x^2+11x+12}-\frac{1}{x+4}=\frac{3x+1}{(2x+3)(x+4)}-\frac{1}{x+4}.$

2. Write both fractions over the same denominator

The common denominator is $(2x+3)(x+4)$ .

$\frac{3x+1}{(2x+3)(x+4)}-\frac{1}{x+4}$
$=\frac{3x+1}{(2x+3)(x+4)}-\frac{2x+3}{(2x+3)(x+4)}.$

3. Subtract the numerators and simplify

$\frac{3x+1-(2x+3)}{(2x+3)(x+4)}$
$=\frac{3x+1-2x-3}{(2x+3)(x+4)}$
$=\frac{x-2}{(2x+3)(x+4)}.$

答案

$\dfrac{x-2}{(2x+3)(x+4)}$

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完整解法

1(a)(i)

1(a)(ii)

1(b)

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