$x=s+t$, $y=st$ とする。実数 $s$, $t$ が条件「 $t \geqq s^2$ かつ $t \leqq 1$ 」を満たしながら変化するとき, 点 $\text{P}(x, y)$ の動く領域を $D$ とする。

1. 将点 $(x, y)$ 的存在条件转化为实数 $s$ 的存在条件

点 $\text{P}(x, y)$ が領域 $D$ に属するための条件は、
$x = s + t, \quad y = st, \quad t \geqq s^2, \quad t \leqq 1$
を満たす実数 $s, t$ が存在することである。
$t = x - s$ を代入すると、条件は次と同値になる：
$y = -s^2 + xs$
を満たし、かつ
$x - s \geqq s^2 \iff s^2 + s - x \leqq 0 \quad \cdots (\text{i})$
$x - s \leqq 1 \iff s \geqq x - 1 \quad \cdots (\text{ii})$
を満たす実数 $s$ が少なくとも1つ存在すること。

2. 求出使 $s$ 存在的 $x$ 的取值范围，以及 $s$ 的取值区间

不等式 (i) $s^2 + s - x \leqq 0$ 存在实数解的充要条件为判别式 $\Delta = 1 + 4x \geqq 0$，即 $x \geqq -\dfrac{1}{4}$。
此时，方程 $s^2 + s - x = 0$ 的两根为
$\alpha = \frac{-1 - \sqrt{1+4x}}{2}, \quad \beta = \frac{-1 + \sqrt{1+4x}}{2}$
故满足 (i) 的 $s$ 的范围为 $\alpha \leqq s \leqq \beta$。
结合 (ii) $s \geqq x - 1$：
当 $-\dfrac{1}{4} \leqq x \leqq 0$ 时，$x - 1 \leqq \alpha$ 恒成立，故 $s$ 的取值范围为 $[\alpha, \beta]$；
当 $0 \leqq x \leqq 2$ 时，$\alpha \leqq x - 1 \leqq \beta$ 恒成立，故 $s$ 的取值范围为 $[x - 1, \beta]$；
当 $x > 2$ 时，$x - 1 > \beta$，无实数 $s$ 满足条件。
因此，$x$ 的取值范围为 $-\dfrac{1}{4} \leqq x \leqq 2$。

3. 分析二次函数 $y = -s^2 + xs$ 的值域，确定 $D$ 的边界并图示

考虑函数 $g(s) = -s^2 + xs$，其对称轴为 $s = \dfrac{x}{2}$，顶点坐标处值为 $g\!\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{x^2}{4}$。
(1) 当 $-\dfrac{1}{4} \leqq x \leqq 0$ 时，对称轴 $\dfrac{x}{2} \geqq \beta$，函数 $g(s)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上单调递增：
$y_{\min} = g(\alpha) = \alpha^3$，$y_{\max} = g(\beta) = \beta^3$。
由 $x = s^2 + s$，点 $(x, y)$ 的上下边界分别对应参数曲线 $x = s^2 + s,\, y = s^3$：
下边界对应 $s \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$，上边界对应 $s \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right]$。
(2) 当 $0 \leqq x \leqq 2$ 时，对称轴 $s = \dfrac{x}{2} \in [x - 1, \beta]$，故 $y_{\max} = \dfrac{x^2}{4}$；
又 $g(x-1) = x - 1 \leqq g(\beta) = \beta^3$，故最小值在端点 $s = x - 1$ 处取得：$y_{\min} = x - 1$。
即 $x - 1 \leqq y \leqq \dfrac{x^2}{4}$。
综上，領域 $D$ 的边界由以下曲线组成：

• 曲线 $C: x = s^2 + s,\, y = s^3$ ($-1 \leqq s \leqq 0$，在点 $\left(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}\right)$ 处具有纵向切线)；
• 放物线 $y = \dfrac{1}{4}x^2$ ($0 \leqq x \leqq 2$)；
• 直线 $y = x - 1$ ($0 \leqq x \leqq 2$)。
  領域 $D$ 为上述三条边界所围成的闭区域（含边界）。

1. 将面积 $S$ 分割为 $-\frac{1}{4} \leqq x \leqq 0$ 与 $0 \leqq x \leqq 2$ 两部分

以 $y$ 轴 ($x = 0$) 为界，将領域 $D$ 的面积 $S$ 拆为两部分 $S = S_1 + S_2$：

• $S_1$ 为 $-\dfrac{1}{4} \leqq x \leqq 0$ 部分，由曲线 $x = s^2 + s,\, y = s^3$ 与 $y$ 轴围成；
• $S_2$ 为 $0 \leqq x \leqq 2$ 部分，由放物线 $y = \dfrac{1}{4}x^2$ 与直线 $y = x - 1$ 围成。

2. 利用参数曲线求出 $S_1$ 的面积

对于 $S_1$，上侧边界对应 $s \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right]$，下侧边界对应 $s \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$。
由参数方程 $x = s^2 + s$，得 $dx = (2s + 1)\,ds$。
$S_1 = \int_{-\frac{1}{4}}^0 (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}})\,dx = \int_{-\frac{1}{2}}^0 s^3 (2s+1)\,ds - \int_{-\frac{1}{2}}^{-1} s^3 (2s+1)\,ds = \int_{-1}^0 s^3 (2s+1)\,ds$
计算该积分：
$S_1 = \int_{-1}^0 (2s^4 + s^3)\,ds = \left[ \frac{2}{5}s^5 + \frac{1}{4}s^4 \right]_{-1}^0 = 0 - \left( -\frac{2}{5} + \frac{1}{4} \right) = \frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$

3. 计算 $S_2$ 并得出总面积 $S$

对于 $S_2$：
$S_2 = \int_0^2 \left( \frac{1}{4}x^2 - (x - 1) \right) dx = \frac{1}{4} \int_0^2 (x - 2)^2\,dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{(x-2)^3}{3} \right]_0^2 = \frac{1}{4} \left( 0 - \frac{-8}{3} \right) = \frac{2}{3}$
因此，領域 $D$ 的总面积为：
$S = S_1 + S_2 = \frac{3}{20} + \frac{2}{3} = \frac{9 + 40}{60} = \frac{49}{60}$