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换元积分法

换元积分法。

这个知识点的练习题

  1. 1求 ex2+2x\mathrm{e}^{x^2+2x} 对 xx 的导数，并由此求出 ∫01(x+1)ex2+2x  dx\int_{0}^{1} (x+1)\mathrm{e}^{x^2+2x} \; \mathrm{d}x 的精确值。 通过换元 x=sin⁡tx = \sin t（其…
  2. 2证明 cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta。 由此，或用其他方法，求 ∫0π/6sin⁡2θ cos⁡3θ dθ\displaystyle \int_{0}^{\pi/6} \sin 2\theta\,\cos 3\theta\, d\theta…
  3. 3证明对于 x>1x>1， ddx(1x2−1)=−x(x2−1)3/2 .\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)=-\dfrac{x}{(x^2-1)^{3/2}}\,. ddx(sin⁡−11x)=−1xx2−1 .\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin^{-1}\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,.…
  4. 4求 ∫12n(tan⁡−12x)21+4x2 dx\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{n} \frac{(\tan^{-1} 2x)^2}{1+4x^2}\,dx 关于 nn 的表达式，其中 n>0n>0。 由此求出 ∫12∞(tan⁡−12x)21+4x2 dx\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{\infty} \frac{(\tan^{-1} 2x)^2}{1+4x^2}\,dx…
  5. 5曲线 C 由参数方程定义： x=θ2−1,y=tan⁡θ2,0≤θ<πx = \theta^2 - 1,\quad y = \tan\frac{\theta}{2},\quad 0 \le \theta < \pi。 求由 C、y 轴和 x 轴所围成且满足 x≤0x \le 0…
  6. 6通过换元法 u=x+1u = \sqrt{x+1}，求 ∫x+1x−1 dx\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}}{x-1}\,dx。 区域 RR 由曲线 y=x+1x−1y = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} 以及直线…
  7. 7求解不等式 1−2sin⁡x>01-2\sin x>0，其中 0≤x≤π20\le x\le \frac{\pi}{2}。由此求出 ∫0π2∣1−2sin⁡x∣ dx\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \big|1-2\sin x\big|\,dx 的…
  8. 8得到用 nn 表示的 ∫12n(tan⁡−12x)21+4x2 dx\int_{\frac{1}{2}}^{n} \frac{(\tan^{-1} 2x)^2}{1 + 4x^2} \,\mathrm{d}x 的公式，其中 n>0n > 0。 由此求出 ∫12∞(tan⁡−12x)21+4x2 dx\int_{\frac{1}{2}}^{\infty} \frac{(\tan^{-1} 2x)^2}{1 + 4x^2} \,\mathrm{d}x…
  9. 9[Cambridge/9233/2004] 使用换元 t=(x+1)t = \sqrt{(x + 1)} 求 ∫03x(x+1) dx\int_{0}^{3} x \sqrt{(x + 1)} \, dx 的精确值。
  10. 10曲线 CC 的参数方程定义为 x=atan⁡t,y=asec⁡2tsin⁡t,−π4<t<π4,x = a \tan t, \quad y = a \sec^2 t \sin t, \quad -\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{4}, 其中 aa 是正常数。 证明…
  11. 11曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的精确面积。 曲线 CC 的参数方程定义…
  12. 12曲线 CC 的方程为 y=2ax+bxy = 2ax + \frac{b}{x}，其中 aa 和 bb 为非零实常数且 x≠0x \ne 0。 利用求导，确定当 ab<0ab < 0 时曲线 CC 是否存在任何驻点。 现在已知 b=12ab = \frac{1}{2}a…
  13. 13求 ∫xln⁡(x2−4)dx\int x \ln(x^2 - 4) \text{d}x。 利用换元法 x=acos⁡ux = a \cos u 求 ∫0aa2−x2 dx\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \text{ d}x，其中 aa 是一个正常数。给出精确形…
  14. 14通过使用换元 x=cot⁡θx = \cot \theta（其中 0<θ<π40 < \theta < \frac{\pi}{4}），求 ∫1x21+x2 dx\displaystyle \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x。
  15. 15通过将 sin⁡3x\sin^3 x 写成 sin⁡2x(sin⁡x)\sin^2 x(\sin x)，求 ∫sin⁡3xcos⁡3x dx\int \sin^3 x \cos^3 x \text{ d}x。 求 ∫5−6x5−3x2+2x dx\int \frac{5 - 6x}{\sqrt{5 - 3x^2 + 2x}} \text{ d}x…
  16. 16求 ∫cot⁡23x  dx\int \cot^2 3x \; \mathrm{d}x。 求 ∫24x2−4x+3x2−4x+8  dx\int_{2}^{4} \frac{x^2-4x+3}{x^2-4x+8} \; \mathrm{d}x 的精确值。 利用代换 x=2cot⁡θx = 2\cot\theta…
  17. 17求 ∫x+2x2+2x−3 dx\int \frac{x+2}{x^2+2x-3} \,\mathrm{d}x。 求 ∫2xsin⁡x dx\int 2x\sin x \,\mathrm{d}x。 利用换元法 x=3sin⁡θx = 3\sin\theta，求 ∫0329−x2 dx\int_0^{\frac{3}{2}} \sqrt{9-x^2} \,\mathrm{d}x…
  18. 18求 ∫x2x−1 dx.\int \frac{x}{\sqrt{2x-1}}\,dx. 利用换元法 t=tan⁡xt = \tan x，求 ∫14cos⁡2x+9sin⁡2x dx.\int \frac{1}{4\cos^{2}x + 9\sin^{2}x}\,dx. 上图显示了曲线 y=x2+3xy = x^{2} + 3x…
  19. 19求常数 pp 的精确值，使得 ∫5p+919−x dx=∫01411−4x2 dx.\displaystyle \int_{5}^{p+9} \frac{1}{\sqrt{9-x}}\,dx = \displaystyle \int_{0}^{\tfrac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx.…
  20. 20区域 RR 由直线 y=0y=0、y=523y=\dfrac{5}{2}\sqrt{3} 和曲线 x2=25−y2x^2 = 25 - y^2 围成。将 RR 绕 y 轴旋转 π\pi 弧度。利用换元法 y=5sin⁡θy = 5\sin\theta，求所得旋转体的…
  21. 21通过代换 x=cosec⁡θx = \operatorname{cosec}\theta，证明 ∫2321x3x2−1dx=∫π6π3sin⁡2(θ)dθ\int_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{2} \frac{1}{x^3 \sqrt{x^2 - 1}} \mathrm{d}x = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2(\theta) \mathrm{d}\theta…
  22. 22求 ∫1−3x1+9x2 dx\int \frac{1-3x}{1+9x^2} \, \text{d}x。 使用代换 x=2sin⁡θx = 2\sin\theta，其中 θ\theta 为锐角，求 ∫(x−1)24−x2 dx\int \frac{(x-1)^2}{\sqrt{4-x^2}} \, \text{d}x…
  23. 23下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围成的区域 RR。求 RR 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围…
  24. 24设 f(x)=xx+1f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}。 证明 ∫01f(x) dx=23(2−2)\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}\bigl(2-\sqrt{2}\bigr)。 下图显示了方程为 y=f(x)y=f(x)…
  25. 25曲线 CC 由以下参数方程定义： x=2cos⁡θ+1,y=sin⁡θ,where −π≤θ≤π.x = 2\cos\theta + 1, \quad y = \sin\theta, \quad \text{where } -\pi \le \theta \le \pi. 画出曲线 CC 的…
  26. 26曲线 C 是一个半径为 2、圆心在原点的圆，其方程为 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4。直线 L 的方程为 3y=x+2\sqrt{3}y = x + 2。下方图示显示了由 C 和 L 所围成的阴影区域 A。 使用换元法 x=2sin⁡θx = 2\sin\theta…
  27. 27使用换元 t=ext = e^{x} 证明：∫e2x tan⁡−1(ex) dx=∫t tan⁡−1(t) dt.\int e^{2x}\,\tan^{-1}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \int t\,\tan^{-1}(t)\,dt. 由此求出 ∫01e2x tan⁡−1(ex) dx\displaystyle \int_{0}^{1} e^{2x}\,\tan^{-1}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx…
  28. 28求 ∫sin⁡3xcos⁡x dx\int \sin 3x\cos x\, dx。 求 ∫xx2+4x+13 dx\displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 4x + 13}\, dx。 使用代换 x=3sin⁡θx = 3\sin \theta 求 ∫9−x2 dx\displaystyle \int \sqrt{9 - x^2}\, dx…
  29. 29使用代换 x=1+sin⁡ux=1+\sin u 求 ∫2x−x2 dx\int\sqrt{2x-x^{2}}\,dx。 包含点 (0,1) 的有界区域 RR 由曲线 y=∣x∣3+∣x∣y=|x|^{3}+|x| 和 y=∣x∣+2−2∣x∣−x2y=|x|+2-\sqrt{2}|x|-x^{2} 围成。…
  30. 30通过使用换元法 x=1ux = \frac{1}{u}，证明 ∫2241xx2−4 dx=π24\int_{2\sqrt{2}}^{4} \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 4}} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{24}。 OO 为原点，AA…
  31. 31求 ∫19−4x2 dx\int \frac{1}{9 - 4x^2} \text{ d}x。 利用换元法 x=cos⁡θ\sqrt{x} = \cos\theta，求 ∫x1−x dx\int \sqrt{\frac{x}{1-x}} \text{ d}x。 求 ∫1ex(ln⁡x)2 dx\int_{1}^{\text{e}} x(\ln x)^2 \text{ d}x…
  32. 32使用换元法 u=1−x3u = 1 - x^3 求 ∫x51−x3 dx\int \frac{x^5}{\sqrt{1 - x^3}} \, \mathrm{d}x。 由此求 ∫x81−x3 dx\int \frac{x^8}{\sqrt{1 - x^3}} \, \mathrm{d}x…
  33. 33[Cambridge/1997] 使用换元 y=x3y = x^3 求下式的值： ∫02x21+x6 dx.\int_{0}^{2} \frac{x^2}{1 + x^6} \, dx.
  34. 34[剑桥/2003 修改] 利用换元法 x=tan⁡θx = \tan \theta 计算 ∫1−x2(1+x2)2 dx.\int \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \, dx.
  35. 35求 x2−1\sqrt{x^2 - 1} 关于 xx 的导数。 由此求 ∫xcos⁡−1(1x) dx\displaystyle \int x\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{x}\right)\,dx。 使用代换 u=1xu = \dfrac{1}{x}…
  36. 36求下列积分。 ∫cos⁡3x−cosec23xsin⁡3x+cot⁡3x dx\int \frac{\cos 3x - \text{cosec}^2 3x}{\sin 3x + \cot 3x} \text{ d}x ∫1−x1−16x2 dx\int \frac{1-x}{\sqrt{1-16x^2}} \text{ d}x…
  37. 37用换元法求不定积分 ∫2xx2+1 dx\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx。
  38. 38使用分部积分法（或其他方法），求 ∫1yln⁡y dy\displaystyle \int \frac{1}{y}\ln y\,dy。 已知 y>1y>1 且 dydx=yln⁡y\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{\ln y}，求用…
  39. 39解答本题时请勿使用图形计算器。 已知对于 0<x<π20 < x < \dfrac{\pi}{2}，有 sin⁡x>2xπ\sin x > \dfrac{2x}{\pi}。 解释为什么 ∫0π2e−sin⁡x dx<∫0π2e−2xπ dx .\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-\sin x}\,dx < \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{2x}{\pi}}\,dx\,.…
  40. 40求 ∫tan⁡2(x−1) dx,\int \tan^2(x - 1) \text{ d}x , ∫sin⁡−12x dx.\int \sin^{-1} 2x \text{ d}x .
  41. 41求下列积分的精确值。 求 ∫22322sin⁡−1x1−x2 dx\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{2\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx 的精确值。 求 ∫0π3∣cos⁡2x∣ dx\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} |\cos 2x|\,dx…
  42. 42曲线 P 由 y=−sin⁡2xy = -\sin^2 x 定义，其中 −π≤x≤0-\pi \le x \le 0。 有界区域 R 由曲线 P、y 轴以及直线 x=−π2x = -\frac{\pi}{2}、y=−2y = -2 围成。 求 P 的极小值点的精确坐标。…
  43. 43使用分部积分法（或其它方法），求 ∫1yln⁡y dy\displaystyle\int \frac{1}{y}\ln y\,dy。 已知 y>1y>1 且 dydx=yln⁡y\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{y}{\ln y}，求用 xx…
  44. 44求常数 AA 和 BB 的值，使得对于所有 xx 的值，都有 11−4x=A(4−2x)+B.11 - 4x = A(4 - 2x) + B. 由此，求 ∫11−4xx(4−x) dx\int \frac{11 - 4x}{\sqrt{x(4 - x)}} \, \mathrm{d}x…
  45. 45曲线 CC 由参数方程定义： x=θ2−1x = \theta^2 - 1，y=tan⁡θ2y = \tan\frac{\theta}{2}，0≤θ<π0 \le \theta < \pi。 求由 CC、yy 轴和满足 x≤0x \le 0 的 xx 轴所围成…
  46. 46曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的面积精确值。 曲线 CC 的参数方程定…
  47. 47曲线 CC 是一个半径为 2、圆心在原点的圆，其方程为 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4。直线 LL 的方程为 3y=x+2\sqrt{3}y = x + 2。下图显示了由 CC 和 LL 所围成的阴影区域 AA。 利用换元法 x=2sin⁡θx = 2\sin\theta…
  48. 48通过使用换元法 u=1+t3u = 1 + t^3，在不使用计算器的情况下求 ∫02t5(1+t3)3 dt\int_{0}^{2} \frac{t^5}{\left(1 + t^3\right)^3} \text{ d}t 的精确值。
  49. 49曲线 CC 由参数方程定义： x=1−cos⁡t,y=sin⁡2t,where 0≤t≤π2.x = 1 - \cos t, \quad y = \sin 2t, \quad \text{where } 0 \le t \le \frac{\pi}{2}. 草拟曲线 CC 的图像，并给出 CC…
  50. 50曲线 CC 的参数方程为 x=2cos⁡t+1,y=sin⁡t,0≤t<2π.x = 2\cos t + 1, \quad y = \sin t , \quad 0 \le t < 2\pi . 画出 CC 的草图，标出其与 xx 轴交点的坐标。 求当 CC 绕 xx 轴旋…
  51. 51在区间 0≤x≤π20 \le x \le \frac{\pi}{2} 内解不等式 1−2sin⁡x>01-2\sin x>0。由此求 ∫0π/2∣1−2sin⁡x∣ dx\int_{0}^{\pi/2} |1-2\sin x|\,dx 的精确值。 利用代换 x=sin⁡θx=\sin\theta 证…
  52. 52函数 ff 定义为 f(x)=ln⁡(5−x)f(x)=\ln(5-x)，其中 x<5x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 xx 轴和 yy 轴围成的区域绕 yy 轴完全旋转一周所产生的旋转体体积。结果保留两位小数。 求使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)|…
  53. 53如图所示，曲线 CC 的参数方程为 x=(1+t)2,y=(3−t)2.x = (1+t)^2, \quad y = (3-t)^2. 曲线 CC 与坐标轴相交于点 (16,0)(16, 0) 和 (0,16)(0, 16)。 证明直线 x=16x = 16 与 CC 相交于点 PP…
  54. 54利用公式表（MF26）中的标准级数，将 ln⁡(k+2x)n\ln(k + 2x)^n 按 xx 的升幂展开，直到 x3x^3 项，其中 kk 和 nn 为实常数，k>0k > 0，n<0n < 0 且 x>−k2x > -\frac{k}{2}。 写出第 *…
  55. 55通过换元 u=cos⁡xu = \cos x，求 ∫sin⁡2xcos⁡2x+cos⁡x+2 dx\displaystyle \int \frac{\sin 2x}{\cos^2 x + \cos x + 2}\,dx，并用含 xx 的式子表示你的答案。
  56. 56求 ∫sin⁡3xcos⁡x dx\int \sin 3x \cos x \text{ d}x。 求 ∫xx2+4x+13 dx\int \frac{x}{x^2 + 4x + 13} \text{ d}x。 利用代换 x=3sin⁡θx = 3\sin\theta 求 ∫9−x2 dx\int \sqrt{9 - x^2} \text{ d}x…
  57. 57求出以 nn 表示的 ∫12n(tan⁡−12x)21+4x2 dx\displaystyle\int_{\tfrac{1}{2}}^{n} \frac{(\tan^{-1}2x)^2}{1+4x^2}\,dx 的公式，其中 n>0n>0。 由此求出 ∫12∞(tan⁡−12x)21+4x2 dx\displaystyle\int_{\tfrac{1}{2}}^{\infty} \frac{(\tan^{-1}2x)^2}{1+4x^2}\,dx…
  58. 58通过引入换元 x=atan⁡θx = a\tan\theta，证明 ∫1xx2+a2 dx=1aln⁡xx2+a2+a+c,\displaystyle \int \frac{1}{x\sqrt{x^2 + a^2}}\,dx = \frac{1}{a}\ln\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2} + a} + c ,…
  59. 59求 ∫cos⁡(ln⁡x)x2 dx\int \frac{\cos(\ln x)}{x^2} \, \mathrm{d}x。 使用换元 u=x+3u = \sqrt{x+3}，求 ∫16x−2xx+3 dx\int_1^6 \frac{x-2}{x\sqrt{x+3}} \, \mathrm{d}x…
  60. 60求 ∫3−2x5+4x−x2 dx\int \frac{3 - 2x}{\sqrt{5 + 4x - x^2}} \, \mathrm{d}x。 证明 ∫24∣x−3∣ dx=a−b2,\int_{\sqrt{2}}^{4} |x - 3| \, \mathrm{d}x = a - b\sqrt{2},…