用换元法求不定积分 $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$ 。

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完整解法

1. 引入中间变量进行换元并计算微分

设 $u = x^2 + 1$ ，对两边求导/微分得：
$du = 2x \, dx$

2. 将原积分改写为关于 $u$ 的积分并求出原函数

将 $u$ 和 $du$ 代入原不定积分：
$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C_1$

3. 将原变量回代并化简绝对值

将 $u = x^2 + 1$ 回代，由于对任意实数 $x$ ，均有 $x^2 + 1 > 0$ ，故绝对值符号可直接化简为普通括号：
$\ln|x^2 + 1| + C = \ln(x^2 + 1) + C$

答案

$\ln(x^2 + 1) + C$ （其中 $C$ 为任意常数）

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