在 $\Delta ABC$ 中，已知 $\cos B = \frac{3}{4}$，$\cos^2(A + C) + \sin A \sin C = 1$.

1. 求出 $\sin A \sin C$ 的值

在 $\Delta ABC$ 中，因为 $A + B + C = \pi$，所以 $A + C = \pi - B$。
从而 $\cos(A + C) = -\cos B = -\frac{3}{4}$。
代入已知条件 $\cos^2(A + C) + \sin A \sin C = 1$，得：
$\sin A \sin C = 1 - \cos^2(A + C) = 1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{7}{16}$

2. 利用两角和的余弦展开式求出 $\cos A \cos C$ 并证明钝角

根据两角和的余弦公式展开：
$\cos(A + C) = \cos A \cos C - \sin A \sin C$
将 $\cos(A + C) = -\frac{3}{4}$ 和 $\sin A \sin C = \frac{7}{16}$ 代入，得：
$\cos A \cos C = \cos(A + C) + \sin A \sin C = -\frac{3}{4} + \frac{7}{16} = -\frac{5}{16}$
由于 $\cos A \cos C = -\frac{5}{16} < 0$，且在三角形中内角均在 $(0, \pi)$ 范围内，正弦值均为正数，
余弦乘积小于 $0$ 说明 $\cos A$ 与 $\cos C$ 必有一正一负。
又因为三角形中至多有一个钝角，所以角 $A$ 或角 $C$ 中必有一个为钝角。
故 $\Delta ABC$ 为钝角三角形。

1. 求 $\sin B$ 的值及边长乘积 $ac$

因为 $B \in (0, \pi)$ 且 $\cos B = \frac{3}{4}$，所以：
$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$
由三角形面积公式 $S = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{\sqrt{7}}{4}$，得：
$\frac{1}{2} ac \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{4} \implies ac = 2$

2. 求边 $b$ 的值

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$，可得：
$ac = 4R^2 \sin A \sin C$
由第 (1) 问知 $\sin A \sin C = \frac{7}{16}$，故：
$2 = 4R^2 \cdot \frac{7}{16} \implies R^2 = \frac{8}{7}$
从而：
$b = 2R \sin B = 2 \cdot \sqrt{\frac{8}{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \sqrt{2}$

3. 利用余弦定理求 $a + c$ 并计算周长

由余弦定理 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$，得：
$(\sqrt{2})^2 = a^2 + c^2 - 2 \times 2 \times \frac{3}{4}$
$2 = a^2 + c^2 - 3 \implies a^2 + c^2 = 5$
因为 $(a + c)^2 = a^2 + c^2 + 2ac = 5 + 2 \times 2 = 9$，且 $a + c > 0$，
所以 $a + c = 3$。
因此，$\Delta ABC$ 的周长为：
$a + b + c = (a + c) + b = 3 + \sqrt{2}$