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二阶导数判别法

二阶导数判别法在判定极大值与极小值中的应用

这个知识点的练习题

1如图所示，一个建在矩形底面上的温室。建造拱形屋顶和两个完全相同的半圆形侧面共使用了 $140\text{ m}^2$ 的聚乙烯薄膜。每个半圆的半径为 $r\text{ m}$ ，温室的长度为 $y\text{ m}$ 。证明温室的体积 $V\text{ m}^3$ …
2求曲线 $y = 2x^2 - \ln x + c$ 的导函数。曲线在点 $T$ 处与正 $x$ 轴相切。求 $T$ 的坐标。证明 $c = -\ln 2\sqrt{e}$ 。求在点 $T$ 处 $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ …
3一个高为 $h$ 、底面半径为 $r$ 的圆锥恰好内接于一个半径为 $5\text{ cm}$ 的球体中，如下图所示。 $\left(\text{圆锥的体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$ 用 $h$ 表示…
4图中所示为一个玻璃试管，其半径为 $r\text{ cm}$ ，高度为 $(h+r)\text{ cm}$ ，底部为一个半径为 $r\text{ cm}$ 的半球。试管的表面积为 $12\pi$ 。求证 $h = \frac{6-r^2}{r}$ …
5农夫用 160 米长的栅栏围起他的一块土地，该土地的形状由一个等腰三角形和一个矩形组成，其尺寸如图所示。证明该土地的面积为 $\dfrac{320\sqrt{3}\,x - (3\sqrt{3} + 6)\,x^2}{4}\ \text{m}^2.$ …
6本题不接受通过精确作图得出的解法。在梯形 $OABC$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(-2, 6)$ 。边 $OC$ 和 $AB$ 平行，且 $BC$ 垂直于 $OC$ 。证明点 $B$ 的坐…
7一家工厂制造微型容器，该容器由一个封闭的圆柱体和一个半径相同的半球组成。圆柱体的半径为 $r\text{ cm}$ ，高为 $h\text{ cm}$ 。容器的体积为 $60\pi\text{ cm}^3$ 。用 $r$ 表示 $h$ 。该容器…
8[半径为 r 的球体体积为 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ ，其表面积为 $4\pi r^2$ 。] 下图显示了一个容量为 $360\pi\ \text{cm}^3$ 的珍珠奶茶杯。它由一个底面半径为 $r$ cm、高为 $h$ c…
9将一个高为 12 cm、底面半径为 5 cm 的圆锥罩在一个半径为 $r$ cm、高为 $h$ cm 的圆柱上。圆锥沿圆柱的上边缘与圆柱接触。图示为圆锥和圆柱的垂直截面。用 $r$ 表示 $h$ 。由此证明圆柱的体积 $V$ cm $^3$ …
10图中显示了一个棱柱，其横截面为梯形 $ABCD$ 。 $AB = 4x\text{ cm}$ ， $BC = DC = AD = 2x\text{ cm}$ 。该棱柱的长度为 $d\text{ cm}$ 。证明梯形 $ABCD$ 的面积为 $3\sqrt{3}x^2\text{ cm}^2$ …
11上图显示了一个三角形棱柱形状的微型模型。一根长 36 cm 的铁丝穿过该三角形棱柱的所有棱。棱柱的横截面是边长为 $x$ cm 的等边三角形，棱柱的长度为 $y$ cm。证明该棱柱的总表面积 A cm^2 满足 $A=\frac{\sqrt{3}-12}{2}x^2+36x.$ …
12园丁计划建造两个花坛，一个是半径为 $r$ m 的圆，另一个是边长为 $x$ m 的正方形。为了保护幼花，这两个花坛将用铁丝网围起来。所用铁丝网的总长度为 30 m。用 $r$ 和 $\pi$ 表示 $x$ 。两个花坛的总面积为 $A\text{ m}^2$ …
13一个胶囊由一个圆柱体和在其一端的半球体组成。圆柱体的高为 $h\text{ cm}$ ，半径为 $r\text{ cm}$ 。半球体的半径也为 $r\text{ cm}$ 。（球体体积 = $\frac{4}{3}\pi r^3$ ，球体表面…
14图中显示了一个纸镇，它由一个半径为 $r$ cm 的实心半球体，叠放在一个半径为 $2r$ cm、高为 $h$ cm 的实心圆柱体上方组成。已知该几何体的总体积为 $216\pi$ cm $^3$ ，请用 $r$ 表示 $h$ 。证明该几何体…
15点 $(a, 2)$ 是函数图像 $y = x^3 - x^2 - x + b$ 的一个驻点，其中 $a$ 和 $b$ 为正常数。证明 $a = 1$ 。求 $b$ 的值。求另一个驻点的坐标。判断每个驻点的类型。解方程 $2 \cos 2x - 3 \sec x + 2 = 0$ …
16该图显示了一个猫抓架，它由一个固定在实心长方体上的实心圆柱体组成。圆柱体的半径为 $x\text{ cm}$ ，高度为 $y\text{ cm}$ 。长方体的底面是边长为 $3x\text{ cm}$ 的正方形，高度为 $x\text{ cm}$ …
17在 $\Delta ABC$ 中， $\angle ABC = 90^\circ$ ， $AB = 12\text{ cm}$ 且 $AC = 13\text{ cm}$ 。矩形 $BPQR$ 的顶点 $P$ 、 $Q$ 和 $R$ 分别位于 $BC$ …
18求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的极值点和极值。
19[高为 $h$ 的棱锥体积为 $\tfrac{1}{3}\times(\text{底面积})\times h$ 。] 如图所示，有一张圆形的纸片，圆心为 $O$ ，半径 $OP = 6\text{ cm}$ 。 $ABCD$ 是一个边长为 $2x\text{ cm}$ …
20一位建筑师用 40 cm 长的铁丝为房间模型设计 2 个窗框。他希望他的设计能让尽可能多的光线穿过窗口。一个窗框是边长为 $x$ cm 的等边三角形，另一个是半径为 $r$ cm 的半圆形。证明由这两个窗框所围成的总面积 $A$ cm $^2$ …
21曲线的方程为 $y = x^2(6 - x)$ 。求该曲线驻点的坐标。使用二阶导数检验法确定每个驻点的极值性质。求使 $y$ 单调递增的 $x$ 的值域。
22图中显示了一块场地的轮廓，该场地由一个半径为 $r\text{ m}$ 的半圆弧和直角边长均为 $x\text{ m}$ 的直角三角形的边组成。该场地的周长为 $10\text{ m}$ 。证明该场地的面积 $A\text{ m}^2$ 由…
23已知曲线方程为 $y = \frac{\ln x}{x}$ 。求该曲线驻点的坐标。答案用 $e$ 表示。确定该驻点的性质。
24求函数 $y = 2x^3 - 9x^2 + 13$ 图像上驻点的坐标。由此，确定该（这些）驻点的性质。
25图示一个由薄塑料片制成的容器，形状为中空圆柱体。容器的长度为 $y$ cm，每个半圆形两端的半径均为 $r$ cm。所用塑料的总外表面积为 8500 cm $^2$ 。证明容器的体积 $V$ cm $^3$ 由 $4250r - \dfrac{1}{2}\pi r^3$ …
26一条曲线的方程为 $y = 2x^3 + 6x^2 - 18x + 5$ 。求驻点的坐标并确定这些驻点的性质。求该曲线的最小斜率以及取得最小斜率时的 $x$ 值。
27如图所示为 $3y = 7x + 6$ 和 $x + 5y = 12$ 图像的一部分。 $T$ 是 $3y = 7x + 6$ 上的一点，且 $U$ 是 $x + 5y = 12$ 上的一点。 $V$ 和 $W$ 是 $x$ 轴上的两个点，使得…
28曲线的方程为 $y = xe^{-3x}$ 。求驻点并判断其性质。
29图中显示了两条宽度分别为 9 m 和 4 m 且呈直角的走廊的交叉口。P 和 Q 是动点，且 PBQ 为一条直线。已知 CP 的长度为 x m，AQ 的长度为 y m，证明 $y = 4 + \frac{36}{x}$ 。求三角形 APQ…
30一个质点在直线上运动，使得在离开固定点 O 后 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 16\bigl(2e^{-2t} - e^{-t}\bigr)$ 给出。求：质点到达距离 O 最远处的时间。距离 O 最远距离的值。质…
31如图所示，该图形是通过在一个宽为 $x$ cm 的矩形中切除一个等边三角形得到的。该图形的周长为 20 cm。证明该图形的面积 $A$ cm $^2$ 由下式给出： $A = 10x - \left(\frac{6+\sqrt{3}}{4}\right)x^2.$ …
32彼得（Peter）建造了一个无盖鱼缸，其长方形底面的长为 $4l$ 米，宽为 $l$ 米，高为 $h$ 米。他希望鱼缸的总外表面积为 $5\text{ m}^2$ 。证明鱼缸的体积 $V$ 立方米由 $V = \frac{2}{5}(5l - 4l^3)$ …
33图中显示了一个几何体。它由一个圆柱体以及其上方的一个半球体组成。圆柱体的半径为 $x\text{ cm}$ ，高度为 $y\text{ cm}$ 。半球体的半径为 $2x\text{ cm}$ 。如果该几何体的总体积为 $72\pi\text{ cm}^3$ …
34 $ABCDEF$ 是一个临时观众看台的横截面图，其中 $AB$ 平行于 $FC$ 和 $ED$ ，且 $AE$ 平行于 $CD$ 。已知 $AB = x$ ， $ED = 4x$ ， $FE = y$ ， $AF = 2y$ 且 $BC = 10\text{ m}$ …
35下图显示了一个直角三棱柱。该棱柱三角形面的高和底边长分别为 $3x$ 米和 $4x$ 米。棱柱的长度为 $L$ 米。已知该棱柱的体积为 $240\text{ m}^3$ ，证明该棱柱的表面积 $A\text{ m}^2$ 由下式给出： $A = 12x^2 + \frac{480}{x}.$ …
36图示为一个容器，它由一个半径为 $r$ m、高为 $h$ m 的无盖圆柱体与一个半径为 $r$ m 的半球形底部拼接而成。该容器由厚度可忽略不计的薄金属片制成。容器圆柱部分的体积为 $300\ \text{m}^3$ 。 [半径为 r 的球体…
37一位农民刚刚买了一块土地来种植作物。这块土地由一个边长为 $b\text{ m}$ 的等边三角形、一个边长为 $b\text{ m}$ 和 $l\text{ m}$ 的矩形以及一个直径为 $b\text{ m}$ 的半圆形组成，如下图所示。…
38图中显示了在 $0 \le x \le \pi$ 弧度范围内的曲线 $y = \sin 2x + x$ 。点 $M$ 是曲线的极小值点，且 $OM$ 是一条直线。证明阴影区域的面积为 $\left(\frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{3}{4}\right)$ …
39已知一条曲线满足 $\frac{dy}{dx} = \frac{8}{x^{2}} - 2.$ 已知该曲线穿过点 (1, 5)，求该曲线的方程。求该曲线驻点的 x 坐标。求 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 的表达式，并由…
40一条曲线的方程为 $y = \dfrac{\ln 2x}{x}$ 。求 $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 的表达式，并证明 $x\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x^{2}} = 0$ …