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原函数与导函数图像的关系

建立 $y = \mathrm{f}'(x)$ 的图像与 $y = \mathrm{f}(x)$ 的图像之间的联系。

这个知识点的练习题

1曲线 $C_1$ 的方程为 $p^2x^2 - y^2 = p^2$ ，其中 $p > 1$ 。画出 $C_1$ 的草图，用 $p$ 表示出其与坐标轴的所有交点坐标、所有驻点坐标以及所有渐近线方程。 $C_1$ 经过单一变换得到 $C_2$ 。…
2图中给出了 $y = \mathrm{f}(|x|)$ 和 $y = \mathrm{f}'(x)$ 的图像。 $y = \mathrm{f}(|x|)$ 的图像在 $(-3, 4)$ 和 $(3, 4)$ 处有转折点，交 $x$ 轴于 $(-2, 0)$ …
3图示为曲线 $y = \text{f}(1-x)$ 。该曲线的极大值点为 $(-1, 5)$ ，且有两条渐近线 $x = -2$ and $y = 1$ 。在不同的图上，分别画出下列函数的图像草图： $y = \text{f}(x)$ ， $y = \text{g}'(x)$ …
4函数 $y = \text{f}(x)$ 的图像在 $(2,3)$ 处有一个极大值转折点，且经过原点。直线 $x = -1$ 和 $y = 2$ 是该图像的渐近线，如下图所示。求使 $y = \frac{1}{\text{f}(x)}$ …
5下图显示了 $y = f(x)$ 的图像。该曲线在 $(0,a)$ 处有一个极值点，且直线 $y = \pm kx$ 是该曲线的渐近线，其中 $a$ 和 $k$ 是正实常数。 [续] 现在已知 $\mathrm{f}(x) = a\sqrt{1+x^2}$ …
6已知曲线方程为 $y=\dfrac{x^2-3a^2}{x-a}$ ，其中 $a$ 是正常数。求该曲线的渐近线方程，并证明该曲线上没有驻点。草拟该图像，用含有 $a$ 的式子写出其与坐标轴任何交点的坐标。通过考虑 $y=f'(x)$ 的…
7下图显示了 $y = \text{f}(x)$ 的图像。该曲线穿过 $x$ 轴的点为 $(-2, 0)$ 和 $(1, 0)$ ，并且有一个最大值点，其坐标为 $(2, 2)$ 。直线 $x = -1$ 和 $y = 1$ 是该图像的渐近线。…
8图示为 $y = \text{f}'(x)$ 的图像，它经过原点，且极值点为 $(2, 5)$ 和 $(6, 0)$ 。 $y = \text{f}'(x)$ 的图像有一条垂直渐近线 $x = -1$ 和一条水平渐近线 $y = 5$ 。草拟…
9图中展示了 $y = f(|x|)$ 和 $y = f'(x)$ 的图像。 $y = f(|x|)$ 的图像在 $(-3,4)$ 和 $(3,4)$ 处有转折点，与 $x$ 轴相交于 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$ ，其渐近线方程为 $x = -1$ …
10曲线 $y = f(x)$ 的图像在下方给出。在不同的图表中，画出以下函数的图像： $y = \frac{1}{f(x)}$ $y = f'(x).$ 曲线 $C$ 的参数方程为 $x = t$ , $y = 2t^2$ 。描述一系列变换，…
11曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + (\lambda - 1)x}{x - 1}, \quad x \ne 1,$ 其中 $\lambda$ 为常数。求 $C$ 的渐近线方程，使 $C$ 在 $x > 0$ 时具…
12图中显示了方程为 $y = \mathrm{f}(x)$ 的曲线。该曲线在 $x = 1$ 和 $x = 2.5$ 处穿过 $x$ 轴，在 $y = 1$ 处穿过 $y$ 轴，且其极大值点为 $(4, 6)$ 。渐近线方程为 $x = 2$ …
13已知 $\mathrm{f}(x) = 2x^6 - 4x^4 - 6x^2 - 7$ 。图示为 $x \ge 0$ 时方程为 $y = \mathrm{f}(x)$ 的曲线。该曲线与正 $x$ 轴交于 $x = \alpha$ 。求 $\alpha$ …
14下图显示了 $y = \text{f}(x)$ 的图像。该曲线与 $y$ 轴交于点 $\left(0, -\frac{11}{2}\right)$ ，且极大值点为 $(a,b)$ ，极小值点为 $(c,d)$ 。渐近线方程为 $y = 3$ ， $x = -1$ …
15下图显示了曲线 $C_1$ 的图像，其方程为 $y = \mathrm{f}(x)$ ，定义域为 $x \in \mathbb{R} \setminus \{4\}$ ，渐近线为 $x = 4$ 和 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ …
16下图展示了曲线 $y = \text{f}'(x)$ 。它的极值点为 $(0, 6)$ 、 $(5, 0)$ 和 $(7, 7)$ ，且与 $x$ 轴相交于 $(-3, 0)$ 和 $(8, 0)$ 。写出曲线 $y = \text{f}(x)$ …
17下图展示了 $y = \mathrm{f}(x)$ 的图像。曲线与坐标轴交于 $A(0, 1.5)$ 和 $B(-3, 0)$ 。该曲线的渐近线为 $x = -2$ 和 $y = 1$ 。在不同的图中，分别画出下列函数的图像，并尽可能清晰地标…
18下图展示了 $y = |\mathrm{f}(x)|$ 和 $y = \mathrm{f}'(x)$ 的图像。在不同的图上分别画出以下函数的图像：在每幅图中清晰地标出与坐标轴的交点、极值点的坐标以及渐近线的方程。 $y = |\mathrm{f}(2x)| + 1$ …
19证明 $y=\ln\left(\dfrac{e^{2}}{3x}\right)$ 可以写成 $y=a+b\ln(cx)$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是待求的整数。由此，写出一系列能将 $y=\ln x$ 的图像变换为 $y=\ln\left(\dfrac{e^{2}}{3x}\right)$ …
20下图显示了 y = f(x) 的图像。曲线在 (-2, 0) 和 (1, 0) 处穿过 x 轴，并且具有坐标为 (2, 2) 的极大值点。直线 x = -1 和 y = 1 是该图像的渐近线。在可能的情况下，指出所有渐近线的方程、与坐标轴…
21 $y = \mathrm{f}'(x)$ 和 $y = |\mathrm{f}(x)|$ 的图像如下图所示。写出 $y = \mathrm{f}(x)$ 图像所有转向点的性质。写出 $\mathrm{f}$ 递减时 $x$ 的取值范围。…
22曲线 $C$ 的方程为 $y=\dfrac{x^2+(\lambda-1)x}{x-1},\quad x\ne 1,$ 其中 $\lambda$ 为常数。求：曲线 $C$ 的渐近线方程。使得 $C$ 在 $x>0$ 时有 2 个驻点…
23上面给出了 $y = \text{f}(x)$ 的图像。在不同的图上分别画出以下函数的图像：你的草图应清晰地标出任何驻点、与坐标轴的交点坐标以及任何渐近线的方程。 $y = \text{f}(2x + 3)$ ， $y = \text{f}'(x)$ …
24 $y=f'(x)$ 和 $y=|f(x)|$ 的图像如下所示。确定 $y=f(x)$ 图像所有极值点的性质。求 $f$ 递减时 $x$ 的取值范围。草拟 $y=f(x)$ 的图像，清晰标出渐近线方程、极值点坐标以及与坐标轴的交点。在…
25曲线 $C$ 具有参数方程 $x = (a^2 - t^2)^{\frac{1}{2}}, \quad y = \ln t, \quad \text{for } 0 < t \le a \text{ and } a > 1.$ $C$ …
26曲线 $C$ 的参数方程为 $x = 3t^3,\ y = \frac{3}{1+t^2},\quad t \in \mathbb{R}.$ 用 $t$ 表示 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 。解释为什么 $C$ …
27画出 $y = \dfrac{1}{f(x)}$ ， $y = f'(x)$ ， $y = |f(x)|$ ， $y = f(|x|)$ 的图像。
28函数 $f$ 定义为 $f : x \mapsto a + \dfrac{3a}{(x+3)(x-1)}$ ，其中 $a>0$ 。利用微积分，求 $y=f(x)$ 的驻点的 $x$ 坐标。画出 $y=f(x)$ 的图像草图，明确写出驻点的坐…
29下图显示了 $x<\frac{3}{2}$ 时 $y=f(x)$ 的图像。该图像具有驻点 $(-\frac{\pi}{4}, -2)$ 和 $(\frac{\pi}{4}, -\frac{2}{5})$ ，与坐标轴的交点为 $(0, -\frac{1}{2})$ …
30曲线 $C$ 的方程为 $y = \dfrac{x^2 + (\lambda - 1)x}{x - 1}, \quad x \ne 1,$ 其中 $\lambda$ 为常数。求曲线 $C$ 的渐近线方程。使得曲线 $C$ 在 $x > 0$ …