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导数的几何意义

一阶和二阶导数符号的几何意义：(i) $\mathrm{f}'(x) > 0$ 、 $\mathrm{f}'(x) = 0$ 和 $\mathrm{f}'(x) < 0$ ；(ii) $\mathrm{f}''(x) > 0$ 和 $\mathrm{f}''(x) < 0$ 。

这个知识点的练习题

1曲线 C 的方程为 $x + y = (x - y)^2$ 。已知 C 只有一个转向点。证明 $1 - \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + 2x - 2y}$ 。由此，或用其他方法，证明 $\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \left(1 - \frac{dy}{dx}\right)^3$ …
2曲线 C 的方程为 $x + y = (x - y)^2.$ 已知 C 只有一个驻点。证明 $1 - \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2}{1 + 2x - 2y}$ 。由此或用其他方法，证明 $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \left(1 - \dfrac{dy}{dx}\right)^3.$ …
3曲线 $C_1$ 的方程为 $p^2x^2 - y^2 = p^2$ ，其中 $p > 1$ 。画出 $C_1$ 的草图，用 $p$ 表示出其与坐标轴的所有交点坐标、所有驻点坐标以及所有渐近线方程。 $C_1$ 经过单一变换得到 $C_2$ 。…
4已知 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 是常数。方程为 $y=f(x)$ 的曲线 $C$ 经过点 $(0,-1)$ 且在 $(-1,1)$ 处有一个极大值点。由 $C$ 、 $x$ 轴以及…
5图中给出了 $y = \mathrm{f}(|x|)$ 和 $y = \mathrm{f}'(x)$ 的图像。 $y = \mathrm{f}(|x|)$ 的图像在 $(-3, 4)$ 和 $(3, 4)$ 处有转折点，交 $x$ 轴于 $(-2, 0)$ …
6函数 $\text{g}$ 定义为 $\text{g} : x \to \sin x + x$ ，其中 $x \in \mathbb{R}$ ， $-\pi \le x \le \pi$ 。证明对于 $-\pi < x < \pi$ ，有 $\text{g}'(x) > 0$ …
7图示为曲线 $y = \text{f}(1-x)$ 。该曲线的极大值点为 $(-1, 5)$ ，且有两条渐近线 $x = -2$ and $y = 1$ 。在不同的图上，分别画出下列函数的图像草图： $y = \text{f}(x)$ ， $y = \text{g}'(x)$ …
8函数 $y = \text{f}(x)$ 的图像在 $(2,3)$ 处有一个极大值转折点，且经过原点。直线 $x = -1$ 和 $y = 2$ 是该图像的渐近线，如下图所示。求使 $y = \frac{1}{\text{f}(x)}$ …
9函数 $f$ 的定义为 $f : x \mapsto x^2 - 4x,\ x \in \mathbb{R},\ |x|<1.$ 函数 $g$ 的定义为 $g : x \mapsto 1 + \frac{1}{x+3},\ x \in \mathbb{R},\ x \ne -3.$ …
10下图显示了两个可导函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的图像。在 $x = c$ 处，两个函数之间的距离达到最大值。证明 $f'(c)=g'(c)$ ，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ …
11已知曲线方程为 $y=\dfrac{x^2-3a^2}{x-a}$ ，其中 $a$ 是正常数。求该曲线的渐近线方程，并证明该曲线上没有驻点。草拟该图像，用含有 $a$ 的式子写出其与坐标轴任何交点的坐标。通过考虑 $y=f'(x)$ 的…
12函数 $\text{f}$ 的定义为 $\text{f} : x \mapsto \frac{1}{x^2 - x - 6} + 2, \quad x \in \mathbb{R}, \ x \ne -2, \ x \ne 3.$ 解释…
13画出曲线 $y = x^3 - 4x$ 的草图，标出零点、极值点和拐点坐标。
14曲线 $C$ 由参数方程 $x = t^2$ 和 $y = 2t + t^3$ 定义，其中 $-1 \le t \le 1$ 。草拟 $C$ 的图像。在不使用计算器的情况下，求 $C$ 在 $t = \frac{1}{2}$ 处的法线方程…
15曲线的方程为 $y=f(x)$ ，其中 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ 。曲线 $y=f(x)$ 在 $(1,-32)$ 处有一个极大值点，而曲线 $y=\dfrac{1}{f(x)}$ 有一条方程为 $x=5$ 的垂直渐近线…
16曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + 4x + \lambda - 5}{x + r},$ 其中 $\lambda$ 为非零常数，且有一条垂直渐近线 $x = 1$ 。写出 $r$ 的值并求出 $C$ 的另一条渐近线…
17图示为 $y = \text{f}'(x)$ 的图像，它经过原点，且极值点为 $(2, 5)$ 和 $(6, 0)$ 。 $y = \text{f}'(x)$ 的图像有一条垂直渐近线 $x = -1$ 和一条水平渐近线 $y = 5$ 。草拟…
18函数 f 的定义如下： $f(x)=x+\frac{1}{x-a},\qquad a<x\le b$ 其中 a 为正常数。已知 $f^{-1}$ 存在，证明 $b \le a+1$ 。已知 $a = 1$ 且 $b = 2$ ，求 $f^{-1}(x)$ …
19函数 $\text{f}$ 定义为 $\text{f}(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 。 $y = \text{f}(x)$ 的图像经过点 $(-3, 4)$ 和 $(1, 8)$ 。已知 $y = \frac{1}{\text{f}(x)}$ …
20一族曲线由微分方程 $x\dfrac{dy}{dx}-y=x(x-y)$ 给出。通过代换 $y=vx$ ，证明该曲线族可表示为 $y = x(1-Ae^{-x})$ 。在同一个图中，画出对应于正值 $A$ 的该曲线族中的三条曲线。求对应于…
21曲线 $D$ 的方程为 $y = ax + b \ln x + \frac{c}{x}, \quad x > 0,$ 其中 $a$ ， $b$ 和 $c$ 是常数。已知 $D$ 在 $x = \frac{3}{2}$ 处有一个驻点，且 $D$ …
22图中展示了 $y = f(|x|)$ 和 $y = f'(x)$ 的图像。 $y = f(|x|)$ 的图像在 $(-3,4)$ 和 $(3,4)$ 处有转折点，与 $x$ 轴相交于 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$ ，其渐近线方程为 $x = -1$ …
23曲线 $y = f(x)$ 的图像在下方给出。在不同的图表中，画出以下函数的图像： $y = \frac{1}{f(x)}$ $y = f'(x).$ 曲线 $C$ 的参数方程为 $x = t$ , $y = 2t^2$ 。描述一系列变换，…
24曲线 $G$ 的方程为 $y = ax + b + \dfrac{c}{(x+1)^2}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是正整数。设 $R$ 是由曲线 $G$ 、坐标轴以及直线 $x = 3$ 围成的区域。解释为什么对于所有 $x > 0$ …
25某晶圆制造公司采用区熔法（floating-zone method）来提纯多晶硅锭，每个硅锭具有均匀的横截面积，长度为 200 cm。该方法包括将杂质浓度为 $C_0$ 原子/ $\text{cm}^3$ 的多晶硅锭放置在单个籽晶的顶部。然后…
26吉姆将一根 8 m 长的杆 $XY$ 靠在一面垂直的墙上，如下图所示。点 $O, X$ 和 $Y$ 共面，其中 $O$ 是垂直墙面与水平地面的交点。在时间 $t$ 秒时，端点 $X$ 和 $Y$ 距离 $O$ 的距离分别为 $x$ 和 $y$ …
27已知 $\mathrm{f}(x) = 2x^6 - 4x^4 - 6x^2 - 7$ 。图示为 $x \ge 0$ 时方程为 $y = \mathrm{f}(x)$ 的曲线。该曲线与正 $x$ 轴交于 $x = \alpha$ 。求 $\alpha$ …
28下图显示了 $y = \text{f}(x)$ 的图像。该曲线与 $y$ 轴交于点 $\left(0, -\frac{11}{2}\right)$ ，且极大值点为 $(a,b)$ ，极小值点为 $(c,d)$ 。渐近线方程为 $y = 3$ ， $x = -1$ …
29某国统计局开发了两个数学函数来分析外籍劳工政策。第一个函数 $f$ 根据允许进入该国的外籍劳工数量，来对该国基础设施（住房、交通、公用事业和医疗服务等）所承受的压力进行建模，其定义如下： $f(x) = (x - 5)^3 + 200, \quad 0 \le x \le 15$ …
30曲线方程由下式给出： $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + 13 = 0$ 其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 为常数。用 $x$ 和 $y$ 表示 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ …
31求下列积分。 $\int \frac{\cos 3x - \text{cosec}^2 3x}{\sin 3x + \cot 3x} \text{ d}x$ $\int \frac{1-x}{\sqrt{1-16x^2}} \text{ d}x$ …
32图中显示了曲线 $y = f(x)$ ，其极值点为 $A(3, 2.5)$ 和 $B(0, 1)$ 。直线 $y = 1$ 和 $x = -2$ 是该曲线的渐近线。在不同的图上分别画出下列函数的图像，并视情况清晰写出渐近线的方程以及对应于 A…
33下图展示了曲线 $y = \text{f}'(x)$ 。它的极值点为 $(0, 6)$ 、 $(5, 0)$ 和 $(7, 7)$ ，且与 $x$ 轴相交于 $(-3, 0)$ 和 $(8, 0)$ 。写出曲线 $y = \text{f}(x)$ …
34函数 $f$ 定义为 $f : x \mapsto x^2 - 4x$ ， $x \in \mathbb{R}$ ， $|x| < 1$ 。证明 $f^{-1}$ 存在，并以类似的格式求出 $f^{-1}$ 。函数 $g$ 定义为 $g : x \mapsto 1 + \dfrac{1}{x+3}$ …
35曲线 $C$ 的图像是一个三次多项式，且它经过原点、 $(2,0)$ 和 $(2.55,-0.0631)$ 。已知当 $x = 0.785$ 时它有一个极值点，求 $C$ 的方程，其系数保留至小数点后一位。
36下图展示了 $y = |\mathrm{f}(x)|$ 和 $y = \mathrm{f}'(x)$ 的图像。在不同的图上分别画出以下函数的图像：在每幅图中清晰地标出与坐标轴的交点、极值点的坐标以及渐近线的方程。 $y = |\mathrm{f}(2x)| + 1$ …
37曲线 C 的方程为 $x^3 + y^3 - xy = A$ 其中 $A$ 是一个非零常数。证明 C 上的任何驻点都满足 y = 3x^2。用 A 表示这些驻点的 x 坐标，并由此确定使 C 具有两个不同驻点的 A 的取值范围。假…
38 $y = \mathrm{f}'(x)$ 和 $y = |\mathrm{f}(x)|$ 的图像如下图所示。写出 $y = \mathrm{f}(x)$ 图像所有转向点的性质。写出 $\mathrm{f}$ 递减时 $x$ 的取值范围。…
39曲线 $C$ 的方程为 $y = x + \frac{9}{x+1}$ 。利用求导，求出使得 $C$ 向上凹的 $x$ 的取值范围。草绘曲线 $C$ 。
40曲线 $C$ 的方程为 $y = x + \dfrac{9}{x+1}$ 。利用求导，求使得 $C$ 凹口向上的 $x$ 的取值范围。画出 $C$ 的草图。
41[Cambridge/9709/2010] 一条曲线的参数方程为 $x = 1 + \ln(t - 2), \quad y = t + \frac{9}{t}, \quad \text{for } t > 2.$ 证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{(t^2 - 9)(t - 2)}{t^2}$ …
42图 1 展示了一个直正六棱柱的展开图，它是从一张边长为 30 cm 的矩形纸板上裁剪下来的。该展开图由两个边长为 $a$ cm 的正六边形和六个边长分别为 $a$ cm 和 $h$ cm 的矩形组成。将展开图折叠后形成一个直六棱柱，其底面为…
43 $y = |\mathrm{f}(x)|$ 的图像在 $(0,2)$ 处有一个转折点，且经过点 $(-4,0)$ 和 $(4,0)$ 。 $y = \mathrm{f}'(x)$ 的图像在原点处有一个拐点。在不同的图上，画出下列函数的图像草图…
44函数 f 和 g 定义为： $f : x \rightsquigarrow \left\lfloor\dfrac{2x+2\lambda}{x-2}\right\rfloor, \quad x \in \mathbb{R}, \ -\lambda < x < 2$ …
45 $y=f'(x)$ 和 $y=|f(x)|$ 的图像如下所示。确定 $y=f(x)$ 图像所有极值点的性质。求 $f$ 递减时 $x$ 的取值范围。草拟 $y=f(x)$ 的图像，清晰标出渐近线方程、极值点坐标以及与坐标轴的交点。在…
46曲线 $C$ 具有参数方程 $x = (a^2 - t^2)^{\frac{1}{2}}, \quad y = \ln t, \quad \text{for } 0 < t \le a \text{ and } a > 1.$ $C$ …
47曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{a}{x+3} + bx + c$ ，其中 $a$ ， $b$ 和 $c$ 为常数。已知 $C$ 经过坐标为 $(1, -3)$ 的点，且有一个驻点 $(-5, -21)$ 。求 $a$ ， $b$ 和…
48曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + ax + b}{x + 1}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $C$ 在 $(2, 0)$ 处有一个极小值点。证明 $a = -4$ 且 $b = 4$ 。草拟曲线 $C$ …
49函数 $f$ 定义为 $f : x \mapsto a + \dfrac{3a}{(x+3)(x-1)}$ ，其中 $a>0$ 。利用微积分，求 $y=f(x)$ 的驻点的 $x$ 坐标。画出 $y=f(x)$ 的图像草图，明确写出驻点的坐…
50函数 f 定义为： $f : x \mapsto e^{x} + \dfrac{1}{2x+2}\quad\text{对 } x \in \mathbb{R},\ x \ne -1.$ 定义在 $x \in \mathbb{R},\ x \ge 1$ …
51一条三次曲线经过点 (2, 3) 和 (-3, -22)。如果它在 (1, -6) 处有一个驻点，求该曲线的方程。
52函数 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ 的定义为 $\begin{aligned} \mathrm{f} &: x \mapsto x - \frac{1}{x}, \quad x < 0, \\ \mathrm{g} &: x \mapsto \sin x, \quad 0 \le x \le 2\pi. \end{aligned}$ …
53函数 $f$ 对 $x \ne 2$ 定义为 $f : x \mapsto \dfrac{kx^{2}-5x+3}{x-2}$ ，其中 $k$ 是一个实常数。求 $k$ 的取值范围，使得该函数对所有实数 $x, x \ne 2$ 都是单调递…
54曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，其中 $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+d},$ 且 $a, b, c$ 和 $d$ 是常数，且 $a \ne 0$ 。已知 $C$ 有渐近线 $y = x + 1$ ，求 $a$ …