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复数相等

复数的相等。两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

这个知识点的练习题

  1. 1已知 z=2−iz = 2 - \text{i} 是方程 4z4−12z3+17z2+pz+q=04z^4 - 12z^3 + 17z^2 + pz + q = 0 的一个根，其中 pp 和 qq 是实数，求 pp 和 qq 的值。 利用所求得的 pp 和 qq 的值，…
  2. 2已知复数z=x+yi(x,y∈R)z=x+yi(x,y\in R)，则()(\quad) A. z2⩾0z^{2}\geqslant 0 B. zz的虚部是yiyi C. 若z=1+2iz=1+2i，则x=1x=1，y=2y=2 D. ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}…
  3. 3[剑桥/H2 数学 2007] 复数 ww 满足 ww∗+2w=3+4iww^* + 2w = 3 + 4i，其中 w∗w^* 是 ww 的共轭复数。求 ww，并表示为 a+iba + ib 的形式，其中 aa 和 bb 为实数。
  4. 4方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0, where p is a constant2z^4 - 14z^3 + 33z^2 - 26z + p = 0\text{, where } p \text{ is a constant} 的一个根是 3+i3 + \mathrm{i}。 仅根据上述信息，一名学生声称该…
  5. 5复数 zz 满足方程 f(z)=0\mathrm{f}(z) = 0，其中 f(z)=(1−ai)z2−2iz−10−20i\mathrm{f}(z) = (1 - a\mathrm{i})z^2 - 2\mathrm{i}z - 10 - 20\mathrm{i} 且 aa 是一个…
  6. 6回答本题时请勿使用计算器。 已知 x=1+3ix = 1 + 3\mathrm{i} 是方程 x3+ax2+18x+b=0x^3 + ax^2 + 18x + b = 0 的一个根，求实数 aa 和 bb 的值以及其余的根。 复数 zz 和 ww 满足…
  7. 7方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0，其中 p 是常数2z^{4} - 14z^{3} + 33z^{2} - 26z + p = 0\text{，其中 } p \text{ 是常数} 的一个根为 3+i3 + \mathrm{i}。 仅根据上述信息，一名学生声称该方程有一个根为…
  8. 8求表示复数 z 的点 P 的轨迹的笛卡尔方程的最简形式，其中 ∣z+3∣=2 ℜ(z)|z+3|=2\,\Re(z)。在阿甘特图上画出该轨迹。 写出复数 ww 的模和辐角，其中 w=−2+(23) iw=-2+(2\sqrt{3})\,i。已知 wnw^{n} 是实数，求正整…
  9. 9解答本题时请勿使用计算器。 已知三个复数为 z1=1+iz_1 = 1 + i，z2=3−iz_2 = \sqrt{3} - i 和 z3=cos⁡π3+isin⁡π3z_3 = \cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin \dfrac{\pi}{3}。 求 z1z2z3\dfrac{z_1 z_2}{z_3}…
  10. 10求使表达式 2−isin⁡2α1+2isin⁡2α\dfrac{2 - i\sin 2\alpha}{1 + 2i\sin 2\alpha} 为纯实数的 α\alpha 的取值集合。 如果 zz and ww 是不同的非零复数，且 ∣w∣=1|w| = 1，求 ∣3(w−z)1−z‾w∣\left|\dfrac{3(w - z)}{1 - \overline{z}w}\right|…
  11. 11已知 z1=−i2z_1 = -\frac{\text{i}}{2} 是方程 2z3+(i−8)z2+az+13i=02z^3 + (\text{i}-8)z^2 + az + 13\text{i} = 0 的一个根，求复数 aa 并解该方程，给出笛卡尔形式 x+iyx + \text{i}y…
  12. 12回答本题时不得使用计算器。 写出你的解答过程，求满足联立方程组的复数 zz 和 ww： 2iz+w=5+7i,(4−i)w∗=z−3i.\begin{aligned} 2\text{i}z + w &= 5 + 7\text{i}, \\ (4 - \text{i})w^* &= z - 3\text{i}. \end{aligned}…
  13. 13设复数i−21+i=a+bi(a,b∈R) \dfrac {i-2}{1+i}=a+bi(a,b∈R) 则a+b=()a+b=() A. 11 B. 22 C. −1-1 D. −2-2
  14. 14若复数a+ib−i=2−i \dfrac {a+i}{b-i}=2-i其中aa，bb是实数，则复数a+bia+bi在复平面内所对应的点位于()() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
  15. 15解方程 z5+16=163 iz^5 + 16 = 16\sqrt{3}\, i，将根表示为 reiθr e^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。在阿根特图上表示这些根。 点 AA 和 BB 表示…
  16. 16复数 aa 和 bb 由 a=−(1+3i)a = -(1 + \sqrt{3}\text{i}) and b=12(1−i)b = \frac{1}{2}(1 - \text{i}) 给出。 不使用计算器，求出形如 x+iyx + \text{i}y 的 a2ba^2b…
  17. 17已知 z=λ−4i1−λiz = \frac{\lambda - 4i}{1 - \lambda i}，其中 λ∈R\lambda \in \mathbb{R} 且 arg⁡(z)=π\arg(z) = \pi，求 zz 的值。 解答本题时请勿使用计算器。 复数 zz…
  18. 18回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi，复数 ww 由 w=i3 zw = i\sqrt{3}\,z 给出。阿尔甘图（复平面）上的点 PP 表…
  19. 19解方程 z5+32=0z^{5}+32=0，将你的答案表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。 z1z_{1}，z2z_{2} 和 z3z_{3} 是 z5+32=0z^{5}+32=0 的三…
  20. 20设复数 zz 为 −1+i3-1+i\sqrt{3}。求： arg⁡(z)\arg(z)， 实数 aa，使得 arg⁡(z(z+a))=5π6\arg\big(z(z+a)\big)=\frac{5\pi}{6}。 解方程 iz3=3−3ii z^{3}=3-3i，将你的答案写成 reiθre^{i\theta}…
  21. 21方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0,2z^{4} - 14z^{3} + 33z^{2} - 26z + p = 0, 其中 pp 为常数，有一个根为 3+i3 + i。 仅根据上述信息，一名学生声称该方程有一个根为 3−i3 - i。请说明理由，解释为什么该学生…
  22. 22三次方程 x3+ax2+bx+c=0x^3 + ax^2 + bx + c = 0（其中 aa, bb 和 cc 是常数）有根 3+i3 + \mathrm{i} 和 22。 一位 JC2 学生说第三个根是 3−i3 - \mathrm{i}。指出该学生为了…
  23. 23回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 和 ww 满足以下方程： w+z∗=−2+4iw+z^{*}=-2+4i z+2=3iwz+2=3iw 求 zz 和 ww，将你的答案写成 a+iba+ib 的形式，其中 aa 和 bb 是实数。
  24. 24复数 zz 和 ww 满足 z=1+ia,w=−b−iz = 1 + i a, \quad w = -b - i 其中 aa 和 bb 为正实数。 已知 zw=6−11izw = 6 - 11i，求 aa 和 bb 的精确值。 复数 uu 的共轭复数的模为 2…
  25. 25回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi，且复数 ww 由 w=i3zw = \mathrm{i}\sqrt{3}z 给出。阿尔冈…
  26. 26求形式为 x+iyx+iy 的复数 zz，其中 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}，满足 3izz∗−1+2i=−i\dfrac{3i z}{z^{*}-1+2i} = -i。[注：z∗z^{*} 表示 zz 的共轭复数。] 方程 z2+z+p=0z^{2}+z+p=0…
  27. 27方程 z3+az2+bz+c=0z^3 + az^2 + bz + c = 0 的其中两个根为 3ei(−23π)3\text{e}^{\text{i}\left(-\frac{2}{3}\pi\right)} 和 −2-2。 已知 aa、bb 和 cc 是整数常数，求…
  28. 28已知 z=λ−4i1−λiz=\frac{\lambda-4i}{1-\lambda i}，其中 λ∈R\lambda\in\mathbb{R} 且 arg⁡(z)=π\arg(z)=\pi，求 zz 的值。 解答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 和 ww 由下式…
  29. 29[剑桥/9709/2009] 复数 −2+i-2 + i 记为 uu。 已知 uu 是方程 x3−11x−k=0x^3 - 11x - k = 0 的一个根，其中 kk 为实数，求 kk 的值。 写出该方程的另一个复数根。 求 uu 的模和辐…
  30. 30复数 zz 和 ww 满足： z=1+ia,w=−b−iz = 1 + i a,\quad w = -b - i 其中 aa 和 bb 为正实数。 已知 zw=6−11izw = 6 - 11i，求 aa 和 bb 的确切值。 复数 uu 的共轭复数的模为 2…
  31. 31解答本题时请勿使用计算器。 给出你的计算过程，求满足下列联立方程的复数 zz 和 ww： 2iz+w=5+7i,2iz + w = 5 + 7i, (4−i) w‾=z−3i.(4 - i)\,\overline{w} = z - 3i.
  32. 32已知方程 z4−z3−9z2+sz+t=0z^4 - z^3 - 9z^2 + sz + t = 0 的一个根是 1+2i1 + 2\text{i}，其中 ss 和 tt 为实数。求该方程的其他根以及 ss 和 tt 的值。 设复数 w=a+ibw = a + \text{i}b…
  33. 33设复数zz满足3z−−2z=2+5i(i3\overset{-}{z}-2z=2+5i(i为虚数单位))，则∣z∣=()|z|=(\quad) A. 5\sqrt{5} B. 22 C. 3\sqrt{3} D. 11