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复平面的阿冈图表示

复数在阿甘图中的表示。复数 z=x+iyz = x + iy 表示为阿甘平面上的点 (x,y)(x, y)（或相应的对应位置向量），其中实部在横轴，虚部在纵轴。

这个知识点的练习题

  1. 1解方程 iz5=−32i z^5 = -32，将根写成 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。在阿甘特图上描绘出代表这些根的点 P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 和 P5P_5，其…
  2. 2方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0, where p is a constant2z^4 - 14z^3 + 33z^2 - 26z + p = 0\text{, where } p \text{ is a constant} 的一个根是 3+i3 + \mathrm{i}。 仅根据上述信息，一名学生声称该…
  3. 3方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0，其中 p 是常数2z^{4} - 14z^{3} + 33z^{2} - 26z + p = 0\text{，其中 } p \text{ 是常数} 的一个根为 3+i3 + \mathrm{i}。 仅根据上述信息，一名学生声称该方程有一个根为…
  4. 4求表示复数 z 的点 P 的轨迹的笛卡尔方程的最简形式，其中 ∣z+3∣=2 ℜ(z)|z+3|=2\,\Re(z)。在阿甘特图上画出该轨迹。 写出复数 ww 的模和辐角，其中 w=−2+(23) iw=-2+(2\sqrt{3})\,i。已知 wnw^{n} 是实数，求正整…
  5. 5在复平面内，复数z=13+iz= \dfrac {1}{3+i}对应的点位于()() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
  6. 6复数 zz 满足 arg⁡(z−1−2i)=θ\arg(z-1-2i)=\theta，其中 θ\theta 是区间 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi 内的一个固定角。 给出代表 zz 的点 PP 的轨迹的几何描述。 已知 θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}…
  7. 7方程 z3−2z+k=0z^{3}-2z+k=0（其中 kk 是实常数）有一个根为 z=1+aiz = 1 + ai，其中 aa 是正实常数。 推导出另一个用 aa 表示的根。 求出 aa 和 kk 的值，写出计算过程。 由此求在 Argand 图（阿…
  8. 8在同一个阿根特图上，画出由 −π4<arg⁡(z+1+2i)≤π4-\frac{\pi}{4} < \arg(z + 1 + 2\text{i}) \le \frac{\pi}{4} 和 ∣(2+i)w+5∣≤5|(2 + \text{i})w + 5| \le \sqrt{5} 所确定的轨迹…
  9. 9解方程 iz5=−32iz^5=-32，求出其根并表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。在阿甘图上描绘出代表这些根的点 P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 和 P5P_5，其…
  10. 10复数 aa 的模为 rr，辐角为 θ\theta，其中 r∈R+r \in \mathbb{R}^+ 且 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}。复数 bb 满足 b=−2iab = -2ia，复数 cc 为纯虚数且虚部为负…
  11. 11点 A 表示一个固定的复数 aa，满足 −π2<arg⁡a<0-\dfrac{\pi}{2}<\arg a<0。复数 iaia 和 a+iaa+ia 分别由点 B 和 C 表示。在清晰标注的阿甘图（Argand diagram）上，画出点 A、B、C 以及表示…
  12. 12点 AA 表示复数 aa，满足 ∣a∣=1|a|=1 且 θ=arg⁡(a),  0<θ<π4\theta=\arg(a),\; 0<\theta<\dfrac{\pi}{4}。点 BB 表示复数 iaia。 复数 zz 满足关系式 ∣z−ia∣≤2and∣z−ia∣=∣z−a∣.|z-ia|\le\sqrt{2}\quad\text{and}\quad|z-ia|=|z-a|.…
  13. 13复数 zz 随 tt 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),where 0≤t<2π.z = 2\cos t + \mathrm{i}(3\sin t), \quad \text{where } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…
  14. 14解方程 z5+16=163 iz^5 + 16 = 16\sqrt{3}\, i，将根表示为 reiθr e^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。在阿根特图上表示这些根。 点 AA 和 BB 表示…
  15. 15复数 aa 和 bb 由 a=−(1+3i)a = -(1 + \sqrt{3}\text{i}) and b=12(1−i)b = \frac{1}{2}(1 - \text{i}) 给出。 不使用计算器，求出形如 x+iyx + \text{i}y 的 a2ba^2b…
  16. 16在同一个阿氏图（Argand图）上，画出表示复数 zz 的点的轨迹，满足 ∣z−4−2i∣≤2and∣z−3∣≤∣z−5∣.|z-4-2i| \le 2\quad\text{and}\quad |z-3| \le |z-5|. 求以下各项的最大值和最小值： (a) ∣z∣|z|，…
  17. 17复数 zz 满足关系式 ∣z∣≤2|z|\le 2 且 π6≤arg⁡z≤π2\dfrac{\pi}{6}\le \arg z \le \dfrac{\pi}{2}。在同一个阿根特图上，将这两个关系表示为区域 RR。 已知 ll 是满足 arg⁡(z−3)=k\arg\left(z-\sqrt{3}\right)=k…
  18. 18已知 z=λ−4i1−λiz = \frac{\lambda - 4i}{1 - \lambda i}，其中 λ∈R\lambda \in \mathbb{R} 且 arg⁡(z)=π\arg(z) = \pi，求 zz 的值。 解答本题时请勿使用计算器。 复数 zz…
  19. 19回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi，复数 ww 由 w=i3 zw = i\sqrt{3}\,z 给出。阿尔甘图（复平面）上的点 PP 表…
  20. 20复数 zz 满足 ∣z−4−3i∣≤2andπ<arg⁡[(z−4)2]<2π|z-4-3\text{i}| \le 2 \quad \text{and} \quad \pi < \arg\left[(z-4)^2\right] < 2\pi 在阿甘特图上清晰地画出 zz 的轨迹。 求…
  21. 21点 P 和 Q 分别由复数 p 和 q 表示，其中 p=2+2i , arg⁡(q)=23π and ∣q∣=2.p=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\,,\ \arg(q)=\dfrac{2}{3}\pi\text{ and }|q|=2. 求 ∣p∣|p| 和 arg⁡(p)\arg(p) 的精确值。…
  22. 22方程 2z4−14z3+33z2−26z+p=0,2z^{4} - 14z^{3} + 33z^{2} - 26z + p = 0, 其中 pp 为常数，有一个根为 3+i3 + i。 仅根据上述信息，一名学生声称该方程有一个根为 3−i3 - i。请说明理由，解释为什么该学生…
  23. 23下方阿冈德图（Argand diagram）上的点 A 表示模为 rr、辐角为 θ\theta 的复数 w1w_1。已知复数 w2w_2 和 w3w_3 满足方程 w2=−w1w_2 = -w_1 且 w3=iw2w_3 = i w_2。 设 B、C…
  24. 24方程 x3−1=0x^3 - 1 = 0 的三个不同的根记为 1,ω1, \omega 和 ω2\omega^2。 在不先显式求出 ω\omega 的情况下，证明 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0。 现在已知 0<arg⁡(ω)<π0 < \arg(\omega) < \pi…
  25. 25复数 zz 随 tt 变化，满足： z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),其中 0≤t<2π.z = 2\cos t + i(3\sin t),\quad \text{其中 } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re⁡(z)x = \operatorname{Re}(z) 且 y=Im⁡(z)y = \operatorname{Im}(z)…
  26. 26解方程 z4=3−iz^4 = \sqrt{3} - i，将根写成 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r > 0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。 在阿冈图上表示这些根，并写出这些根所在的几何图形的直角坐标方程。
  27. 27复数 zz 和 ww 满足 z=1+ia,w=−b−iz = 1 + i a, \quad w = -b - i 其中 aa 和 bb 为正实数。 已知 zw=6−11izw = 6 - 11i，求 aa 和 bb 的精确值。 复数 uu 的共轭复数的模为 2…
  28. 28回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi，且复数 ww 由 w=i3zw = \mathrm{i}\sqrt{3}z 给出。阿尔冈…
  29. 29解答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 和 ww 具有相同的模 rr，且它们的辐角分别为 α\alpha 和 β\beta。 证明 z+w=2rcos⁡α−β2(cos⁡α+β2+isin⁡α+β2)z + w = 2r\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2} \left( \cos\dfrac{\alpha + \beta}{2} + i\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2} \right)…
  30. 30在同一个阿冈图（Argand diagram）上，画出以下轨迹的草图： ∣z−3∣=5|z - 3| = 5 arg⁡(z−8)=π−tan⁡−1(12)\arg(z - 8) = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) ∣z+2∣=∣z−3+5i∣|z + 2| = |z - 3 + 5i|…
  31. 31在同一个阿冈德图中，绘制以下轨迹的草图，并清晰地标注每个轨迹。 ∣z∣=5,|z| = 5, ∣z+8∣=∣z−8i∣.|z + 8| = |z - 8i|. 满足上述方程的两个复数分别用 pp 和 qq 表示，其中 arg⁡(pq)>0\arg\left(\frac{p}{q}\right) > 0…
  32. 32在同一个阿根图上，画出由以下方程给出的轨迹： (a) ∣z−12−12i∣=12|z - 12 - 12\text{i}| = 12， (b) ∣iz−1−12i∣=5|\text{i}z - 1 - 12\text{i}| = 5。 由此或用其他方法，求同时满足 (a)…
  33. 33复数 z 随 t 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),其中 0≤t<2π.z = 2\cos t + i(3\sin t),\quad\text{其中 } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…
  34. 34已知 ww 满足方程 ∣2w−1∣≤∣w+1∣|2w - 1| \le |w + 1|。 若 w∈Rw \in \mathbb{R}，求 ww 的取值范围。 由此，求满足 ∣2w−1w+1∣≥1\left|\frac{2w - 1}{w + 1}\right| \ge 1 的…
  35. 35复数 zz 和 ww 满足： z=1+ia,w=−b−iz = 1 + i a,\quad w = -b - i 其中 aa 和 bb 为正实数。 已知 zw=6−11izw = 6 - 11i，求 aa 和 bb 的确切值。 复数 uu 的共轭复数的模为 2…
  36. 36复数 ww 的模为 2\sqrt{2}，辐角为 14π\tfrac{1}{4}\pi；复数 zz 的模为 2\sqrt{2}，辐角为 54π\tfrac{5}{4}\pi。 通过先将 ww 和 zz 表示为 x+iyx+iy 的形式，求…
  37. 37复数 zz 满足关系式 ∣z−2i∣<4|z - 2\mathrm{i}| < 4 和 ∣z+4−6i∣≤∣z−2i∣|z + 4 - 6\mathrm{i}| \le |z - 2\mathrm{i}|。 在同一个阿氏图上表示出这两个关系。 求 arg⁡z\arg z 的取值范围…
  38. 38复数 zz 满足以下不等式： ∣z∣2≤4and−π6≤arg⁡(z+3−i)≤0.|z|^2 \le 4 \quad \text{and} \quad -\frac{\pi}{6} \le \arg(z + \sqrt{3} - \mathrm{i}) \le 0. 在阿甘德图上，…
  39. 39在同一个阿甘图（Argand diagram）中，画出以下轨迹的草图，并清晰地标出每个轨迹。 ∣z∣=5|z| = 5。 ∣z+8∣=∣z−8i∣|z + 8| = |z - 8i|。 满足上述方程的两个复数用 pp 和 qq 表示，其中 arg⁡(pq)>0\arg\left(\frac{p}{q}\right) > 0…
  40. 40复数数列 {wn}\{w_n\} 的定义如下： wn=[1+(n−1)i][1+(n+1)i](1+ni)2，其中 n∈Z+.w_n = \dfrac{[1+(n-1)i][1+(n+1)i]}{(1+ni)^2}\text{，其中 }n\in\mathbb{Z}^+. 证明 arg⁡(wn)=p[arg⁡(1+(n−1)i)]+q[arg⁡(1+ni)]+r[arg⁡(1+(n+1)i)]\arg(w_n)=p[\arg(1+(n-1)i)]+q[\arg(1+ni)]+r[\arg(1+(n+1)i)]…
  41. 41已知复数 z=reiπnz = r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{n}}，其中 0<r<10 < r < 1 且 nn 是满足 n≥3n \ge 3 的正整数。复数 11，zz，z2z^2，...，znz^n 分别可…