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空间夹角

两条直线之间、直线与平面之间、以及两个平面之间的夹角。

这个知识点的练习题

  1. 1直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 r=(4110)+λ(1−1−6),λ∈R\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -6 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}…
  2. 2一家钻探公司计划在山中铺设一条直管道 ABAB。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于山脚下坐标为 (0,0,0)(0, 0, 0) 的主控制中心定义的，其中单位为米。xx 轴指向东，yy 轴指向北，zz 轴垂直向上。点 AA 的坐标为 (−200,150,10)(-200, 150, 10)…
  3. 3以原点 OO 为基准，点 AA、PP 和 QQ 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、p\mathbf{p} 和 q\mathbf{q}。一条穿过点 AA 的直线 ll 平行于单位向量 e\mathbf{e}。 点…
  4. 4平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1: \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} = \alpha + 20, \; \alpha \in \mathbb{R},…
  5. 5平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:  r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1:\;\mathbf{r}\cdot \begin{pmatrix}\alpha\\7\\2\end{pmatrix} = \alpha + 20,\; \alpha \in \mathbb{R},…
  6. 6点 A, B 和 C 的位置向量分别为 2i,  3j2i,\;3j 和 4k4k。求一个垂直于包含 A, B 和 C 的平面 Π1\Pi_1 的向量。 平面 Π2\Pi_2 的方程为 r=i+4j+2k+λ(i−j)+μ(j−k).\mathbf{r} = i + 4j + 2k + \lambda(i - j) + \mu(j - k).…
  7. 7在图中，点 OO 是直角棱锥顶角为 VV、底面为长方形 ABCDABCD 的中心。相互垂直的单位向量 i, j, k 分别平行于 AB, BC, OV。ABAB、BCBC 和 OVOV 的长度分别为 1212 单位、66 单位和 66…
  8. 8分别由方程 2x+y=12x+y=1 和 8x+ay+z=48x+ay+z=4 给出的两个平面 p1p_{1} 和 p2p_{2} 相交于一条直线 LL，该直线包含点 A(0,1,0)A(0,1,0)。 证明 a=4a=4，并由此求直线 LL 的向量方程。 另一个点 BB…
  9. 9平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程分别为 r=(4−13)+s(3−17)+t(1−312)\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}…
  10. 10以原点 O 为基准，点 A, B, C, D 的位置向量分别为 2i−j+k,i−2k,−i+3j+2k,−i+j+4k,2i - j + k,\quad i - 2k,\quad -i + 3j + 2k,\quad -i + j + 4k, 。求： 一个垂直于平面 OAB 的向量。 平面…
  11. 11平面 pp 通过点 AA、BB 和 CC，它们的坐标分别为 (0,1,1)(0, 1, 1)、(2,−1,4)(2, -1, 4) 和 (−2,−1,0)(-2, -1, 0)。 证明平面 pp 的笛卡尔方程为 2x−y−2z=−32x - y - 2z = -3。 直线 ll…
  12. 12平面 Π\Pi 的方程为 2x−3y+6z=72x-3y+6z=7，直线 ll 的方程为 r=8i−2j+8k+t(3i−j+2k)\mathbf{r}=8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+8\mathbf{k}+t(3\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})…
  13. 13相对于原点 OO，点 PP 和 QQ 的位置向量分别为 4i+4j+3k4\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k} 和 8i+8j−k8\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - \mathbf{k}。 求直线…
  14. 14平面 π1\pi_1 包含点 (2,−2,1)(2,-2,1) 和直线 r=(018)+λ(023),\mathbf{r} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 8\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix},…
  15. 15四面体 OABCOABC 具有四个三角形面，顶点 OO 位于原点。AA、BB 和 CC 的坐标分别为 (9,0,0)(9, 0, 0)、(0,2,0)(0, 2, 0) 和 (0,0,3)(0, 0, 3)（见图）。 求面 ABCABC 的笛卡尔方程。 求面 ABCABC…
  16. 16平面 p 和 q 的方程分别为： r=(2+λ−2μ) i+(−3λ+μ) j+(3−λ+2μ) kr = (2 + \lambda - 2\mu)\,\mathbf{i} + (-3\lambda + \mu)\,\mathbf{j} + (3 - \lambda + 2\mu)\,\mathbf{k}…
  17. 17一个位于水平平坦地面上的机场必须管理飞机从其跑道起飞的飞行航线。这些飞行航线可以假设为直线，飞机可以假设为质点。 在下方图中，标记的点是相对于机场上坐标为 (0,0,0)(0,0,0) 的原点 O 定义的。xx 轴、yy 轴和 zz 轴的方向分…
  18. 18直线 ll 的方程为 1−x=z−α2,y=11 - x = \frac{z - \alpha}{2}, y = 1，其中 α\alpha 为常数。 已知直线 ll 与 yzyz 平面的交点为 (0,1,5)(0, 1, 5)，证明 α=3\alpha = 3。 以…
  19. 19直线 l1l_1 的向量方程为 r=(a10)+λ(01b), λ∈R,\mathbf{r}=\begin{pmatrix}a\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\1\\b\end{pmatrix},\ \lambda\in\mathbb{R},…
  20. 20平面 Π1\Pi_1 的方程为 r=i+2j+k+θ(2j−k)+ϕ(3i+2j−2k).\mathbf{r} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} + \theta(2\mathbf{j} - \mathbf{k}) + \phi(3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}).…
  21. 21直线 ll 的方程为 r=i+6j−3k+s(i−2j+2k)。\mathbf{r} = i + 6j - 3k + s(i - 2j + 2k)。 平面 pp 的方程为 (r−3i).(2i−3j+6k)=0。(\mathbf{r} - 3i).(2i - 3j + 6k) = 0。 直线 ll…
  22. 22平面 Π1\Pi_1 经过点 A(1,4,2)A(1,4,2)、 B(1,0,5)\ B(1,0,5) 和 C(0,8,−1)C(0,8,-1)。 求 Π1\Pi_1 的笛卡尔方程。 求点 P(2,1,2)P(2,1,2) 到平面 Π1\Pi_1 的最短距离。 第二个平面 Π2\Pi_2 经…
  23. 23一名设计师想要建造一个倾斜的屋顶，该屋顶连接在一面垂直的矩形墙壁上，该墙壁位于水平地面上方，如下图所示。假设屋顶和墙壁的厚度均可忽略不计。 点 (x,y,z)(x, y, z) 的定义是相对于墙角 O(0,0,0)O(0,0,0) 而言的，单位为米。单位向量 i\mathbf{i}…
  24. 24两条直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 x−12=−z−1,y=2\frac{x - 1}{2} = -z - 1, y = 2 与 x+3=4−y=z+2x + 3 = 4 - y = z + 2。 判断 l1l_1 与 l2l_2 是否相交，并写出交点坐标（若有）…
  25. 25平面 p1p_1 的方程为 x−y+z=0x - y + z = 0，平面 p2p_2 的方程为 x+y+z=2x + y + z = 2。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 之间的锐角。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 交线的向量方程。 以原点 OO…
  26. 26直线 ll 的方程为 x−1−2=y=z+74\frac{x-1}{-2}=y=\frac{z+7}{4}，平面 pp 的方程为 x−z=2x-z=2。 求 ll 与 pp 之间的锐角。 求 ll 与 pp 相交点的坐标。 从坐标为 (1,0,−7)(1,0,-7)…
  27. 27以原点 O 为基准，点 A 的位置向量为 −i−3j+3k-\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}。平面 π\pi 和直线 ll 的方程分别为 r=(421)+λ(−132)+μ(23−4)\mathbf{r} = \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -4\end{pmatrix}…
  28. 28玩家在虚拟现实游戏中控制一个角色，其中点 (x,y,z)(x,y,z) 是相对于固定点 OO 定义的。长度单位为米，且我们假设角色在点与点之间沿直线移动。 起初，角色位于坐标为 (−3,4,−1)(-3,4,-1) 的点 AA。角色首先沿着平行于 i−3j\mathbf{i}-3\mathbf{j}…
  29. 29平面 π1\pi_1 和 π2\pi_2 相交于直线 l1l_1，它们的方程分别为 π1:r⋅(2−31)=25 且 π2:x+ky−2z=−15,\pi_1 : \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = 25 \text{ 且 } \pi_2 : x + ky - 2z = -15,…
  30. 30平面 Π1\Pi_1 和 Π2\Pi_2 的方程分别为 r⋅(i−2j+k)=4\mathbf{r} \cdot (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) = 4 和 r=3i−j+k+λ(−i+j+k)+μ(4i+j)\mathbf{r} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} + \lambda(-\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) + \mu(4\mathbf{i} + \mathbf{j})…
  31. 31一个四面体有四个顶点 O, A, B 和 C，其中 O 为原点。已知 B 的坐标为 (1, 4, 6)，且直线 AB 的方程为 r=i+4j+6k+λ(2i+aj+ak)\mathbf{r} = \mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k} + \lambda(2\mathbf{i} + a\mathbf{j} + a\mathbf{k})…
  32. 32上图展示了一个玩具房屋，其水平矩形底面为 ABCDABCD，其中 AB=30 cmAB = 30\text{ cm} 且 BC=20 cmBC = 20\text{ cm}。有两个垂直矩形墙面 ABFEABFE 和 DCGHDCGH，其中 AE=BF=CG=DH=10 cmAE = BF = CG = DH = 10\text{ cm}…
  33. 33一艘护卫舰停泊在位置 F(1,2,0)F(1, 2, 0)。两艘潜艇 S1S_1 和 S2S_2 位于海面以下。潜艇 S1S_1 处于位置 A(−2,−1,−1)A(-2, -1, -1)，并沿着平行于向量 −3i+2j−k-3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}…
  34. 34平面 Π\Pi 的方程为 2x−3y+6z=72x-3y+6z=7，直线 ll 的方程为 r=8i−2j+8k+t(3i−j+2k)\mathbf{r}=8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+8\mathbf{k}+t(3\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})…
  35. 35图示为一个具有水平矩形底面 OABCOABC 的立体，其中 OAOA 和 OCOC 的长度分别为 12 m12\text{ m} 和 8 m8\text{ m}。MM 和 NN 分别是 OCOC 和 ABAB 的中点，且 DD 和 EE 分别…
  36. 36直线 l1l_1 和平面 π1\pi_1 的方程分别为 r=(1−33)+λ(32−2),λ∈R\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}…
  37. 37以点 OO 为原点且以 xx-yy 平面为水平面，棱锥 OPQRVOPQRV 具有平行四边形底面 OPQROPQR 和高 OVOV。点 PP 和 RR 的位置向量分别为 −3i+4j+3k-3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}…
  38. 38上图显示了一个长方体 OABCDEFGOABCDEFG，其水平底面为 OABCOABC，其中 OA=6 cmOA = 6\text{ cm} 且 AB=4 cmAB = 4\text{ cm}。ODOD、AEAE、BFBF 和 CGCG 为垂直边，高度为 10 cm10\text{ cm}…
  39. 39直线 ll 经过坐标为 (1,−5,−5)(1, -5, -5) 的点 PP，且平行于 3i+j−6k3\mathbf{i} + \mathbf{j} - 6\mathbf{k}。平面 π1\pi_1 的笛卡尔方程为 2x−5y−3z=42x - 5y - 3z = 4。 求…
  40. 40证明由 r=(5i+2j+4k)+λ(i+3j+k)\mathbf{r} = (5i + 2j + 4k) + \lambda(i + 3j + k) 与 r=(3i+j+k)+μ(4i+7j+5k)\mathbf{r} = (3i + j + k) + \mu(4i + 7j + 5k) 给出的两条直线相交，…
  41. 41已知 aa 和 bb 为正实数，直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程由下式给出 l1:r=(125)+λ(−103) for λ∈Randl2:r=(a99)+μ(17b) for μ∈R.l_1: \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \text{ for } \lambda \in \mathbb{R} \quad \text{and} \quad l_2: \mathbf{r} = \begin{pmatrix} a \\ 9 \\ 9 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ b \end{pmatrix} \text{ for } \mu \in \mathbb{R}.…
  42. 42平面 π\pi 通过坐标为 (−1,0,1)(-1,0,1)，(2,1,−1)(2,1,-1) 和 (1,−3,2)(1,-3,2) 的点。直线 ll 通过点 P(16,20,16)P(16,20,16) 且平行于向量 (121)\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}…
  43. 43平面 p1p_1 的方程为 x−y+z=0x - y + z = 0，平面 p2p_2 的方程为 x+y+z=2x + y + z = 2。 以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 满足 OA→=−2i+j−k\overrightarrow{OA} = -2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}…
  44. 44下图显示了一个以 AA、BB、CC 和 DD 为顶点的三棱锥。以原点 OO 为基准，点 AA、BB、CC 和 DD 的位置向量分别为 i+2j+3k\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}、2i−j+4k2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k}…
  45. 45以点 OO 为原点，x-y 平面为水平面，棱锥 OPQRVOPQRV 具有平行四边形底面 OPQROPQR 和高 OVOV。点 PP 和 RR 的位置向量分别为 −3i+4j+3k-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k} 和…
  46. 46直线 l 分别通过坐标为 (1, 2, 4) 和 (-2, 3, 1) 的点 A 和 B。平面 p 的方程为 3x−y+2z=173x - y + 2z = 17。求： l 和 p 的交点坐标。 l 和 p 之间的锐角。 从点 A 到 p 的垂直距离。
  47. 47为了即将举行的一场赛车比赛，将在赛道附近设立一个观众看台。作为准备工作的一部分，制作了一个棱柱形的看台模型。 上图展示了该看台的模型，以 OO 为原点，单位向量 i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 和 k\mathbf{k}…
  48. 48一群男孩想搭建一个露营帐篷。他们在水平地面上铺了一块矩形防水布 OABCOABC，其中 OA=3 mOA = 3\text{ m} 且 AB=1.5 mAB = 1.5\text{ m}，并将点 DD 和 EE 分别固定在 OO 和 BB 的正上方，使得…
  49. 49四个平面 p1p_{1}、p2p_{2}、p3p_{3} 和 p4p_{4} 的方程分别为 x+y+z=2,−x+ay+z=1,2x+2y+2z=b,cx+2y+3z=d,x+y+z=2,\\-x+ay+z=1,\\2x+2y+2z=b,\\cx+2y+3z=d, 其中 aa、bb、cc 和 dd 为常…