欧拉公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x(i$为虚数单位$)$是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，$e^{2i}$表示的复数在复平面中位于$(\quad)$

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

1. 将 $x=2$ 代入欧拉公式，写出复数 $e^{2i}$ 的代数形式并确定对应的复平面坐标

根据欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$，将 $x=2$ 代入可得：
$e^{2i}=\cos 2+i\sin 2$
该复数在复平面中对应的点为 $P(\cos 2, \sin 2)$。

2. 判断 $2$ 弧度角终边所在的象限并确定其正弦、余弦值的符号

由于 $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$，$\pi \approx 3.14$，显然有 $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$。
因此，$2$ 弧度角终边位于第二象限。
在第二象限中，余弦值小于零，正弦值大于零，即：
$\cos 2 < 0, \quad \sin 2 > 0$
因此，复数 $e^{2i}$ 对应的点 $P(\cos 2, \sin 2)$ 的横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限。

故选：B。