“$-\dfrac{π}{4}\leqslant θ\leqslant\dfrac{π}{12}$”是“$\sqrt{3}\cos^{2}θ-\dfrac{1}{2}\sin 2θ\geqslant\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$”的$(\quad)$

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

1. 利用三角恒等变换公式化简不等式的左侧代数式

利用降幂公式 $\cos^{2}\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$，对不等式左边进行变形：
$\sqrt{3}\cos^{2}\theta-\dfrac{1}{2}\sin 2\theta = \sqrt{3}\cdot\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}-\dfrac{1}{2}\sin 2\theta$
$= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\theta - \dfrac{1}{2}\sin 2\theta + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
利用辅助角公式 $a\cos x + b\sin x = R\cos(x + \varphi)$，将其化简为：
$\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
代入原不等式中，可得：
$\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \geqslant \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$
两边同时减去 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，化简得：
$\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right) \geqslant \dfrac{1}{2}$

2. 求解简化的三角不等式以确定其解集

根据余弦函数的性质，由 $\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right) \geqslant \dfrac{1}{2}$ 可得：
$-\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \leqslant 2\theta + \dfrac{\pi}{6} \leqslant \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}$
不等式各部分同时减去 $\dfrac{\pi}{6}$ 得：
$-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \leqslant 2\theta \leqslant \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}$
同时除以 2 得：
$-\dfrac{\pi}{4} + k\pi \leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{12} + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}$
所以原不等式的解集为 $B = \left\{ \theta \;\middle|\; -\dfrac{\pi}{4} + k\pi \leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{12} + k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}$。

3. 通过比较集合之间的包含关系判断充分性与必要性

设已知条件对应的集合为 $A = \left\{ \theta \;\middle|\; -\dfrac{\pi}{4}\leqslant \theta\leqslant\dfrac{\pi}{12} \right\}$。
显然，当 $k=0$ 时，集合 $A$ 是集合 $B$ 的一个子集，即 $A \subsetneq B$。
因此：

1. 若 $\theta \in A$，则必有 $\theta \in B$，即充分性成立；
2. 若 $\theta \in B$，不一定有 $\theta \in A$（例如取 $\theta = \dfrac{11\pi}{12}$，属于 $B$ 但不属于 $A$），即必要性不成立。
   所以，“$-\dfrac{\pi}{4}\leqslant \theta\leqslant\dfrac{\pi}{12}$”是“$\sqrt{3}\cos^{2}\theta-\dfrac{1}{2}\sin 2\theta\geqslant\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$”的充分不必要条件。

故选 A。