下列说法正确的是$(\quad)$

A. 四边相等的四边形是正方形

B. 对角线相等的四边形是矩形

C. 顺次连接矩形各边中点形成的四边形仍为矩形

D. 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相筹的两部分

1. 分析选项A是否正确

对于A：四边相等的四边形是菱形，其内角不一定为 $90^\circ$，因此不一定是正方形。故A错误。

2. 分析选项B是否正确

对于B：对角线相等的平行四边形才是矩形。如果只是普通的四边形，即使对角线相等（例如等腰梯形），也不一定是矩形。故B错误。

3. 分析选项C是否正确

对于C：矩形的对角线相等。顺次连接矩形各边中点得到的四边形（中点四边形），其边长等于原矩形对角线的一半，因而各边相等，所以该中点四边形为菱形，而不是矩形。故C错误。

4. 分析选项D是否正确并得出结论

对于D：平行四边形是中心对称图形，其对称中心为对角线的交点。过对称中心（对角线交点）的任意直线都会将平行四边形分割成两个中心对称且全等的图形，因而它们的面积必然相等。故D正确。

综上所述，说法正确的是D。