“直线$(m-2)x+(m+2)y-3=0$与直线$(m+2)x+3my+1=0$相互垂直”是“$m=\dfrac{1}{2}$”的什么条件$(\quad)$

A. 必要而不充分

B. 充分而不必要

C. 充分必要

D. 既不充分也不必要

1. 根据两直线垂直的充要条件列出关于参数 $m$ 的方程

若直线 $l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ 与直线 $l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ 相互垂直，则满足 $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$。
已知两直线方程分别为 $(m-2)x+(m+2)y-3=0$ 与 $(m+2)x+3my+1=0$，
因此两直线相互垂直的充要条件为：
$(m-2)(m+2) + 3m(m+2) = 0$

2. 求解关于 $m$ 的二次方程

对因式进行提取或展开：
$(m+2)[(m-2) + 3m] = 0$
$(m+2)(4m-2) = 0$
解得：
$m = -2 \quad \text{或} \quad m = \dfrac{1}{2}$
当 $m = -2$ 时，两直线方程分别为 $-4x - 3 = 0$ 和 $-6y + 1 = 0$，它们分别平行于坐标轴，显然垂直，符合题意；
当 $m = \dfrac{1}{2}$ 时，两直线也显然垂直，符合题意。
因此，两直线相互垂直的充要条件是 $m = -2$ 或 $m = \dfrac{1}{2}$。

3. 判断充分性与必要性

设命题 $p$ 为“两直线相互垂直”，即 $m \in \{-2, \dfrac{1}{2}\}$；
设命题 $q$ 为“$m = \dfrac{1}{2}$”，即 $m \in \{\dfrac{1}{2}\}$。
因为 $\{\dfrac{1}{2}\} \subsetneq \{-2, \dfrac{1}{2}\}$，
所以由 $q \implies p$ 成立（充分性不成立，因为 $p$ 不能推出 $q$）；
而由 $p \implies q$ 不成立，但 $q$ 可以推出 $p$，说明 $p$ 是 $q$ 的必要条件。
综上，“直线$(m-2)x+(m+2)y-3=0$与直线$(m+2)x+3my+1=0$相互垂直”是“$m=\dfrac{1}{2}$”的必要而不充分条件。
故选 A。