已知函数$f(x)=(a\sin x+\cos x)\cos x-\dfrac{1}{2}$的图象的一条对称轴为$x=\dfrac{π}{6}$，则下列结论中正确的是$(\quad)$

A. $(-\dfrac{7π}{12},0)$是$f(x)$图象的一个对称中心

B. $f(x)$是最小正周期为$π$的奇函数

C. $f(x)$在$[-\dfrac{π}{3},\dfrac{π}{3}]$上单调递增

D. 先将函数$y=2\sin 2x$图象上各点的纵坐标缩短为原来的$\dfrac{1}{2}$，然后把所得函数图象再向左平移$\dfrac{π}{6}$个单位长度，即可得到函数$f(x)$的图象

1. 化简函数 $f(x)$ 的解析式

首先利用三角恒等变换公式对函数 $f(x)$ 进行化简：

2. 根据对称轴确定待定系数 $a$ 的值，写出 $f(x)$ 的解析式

根据辅助角公式，设 $f(x) = \dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+1}\sin(2x + \varphi)$，其中 $\tan\varphi = \dfrac{1}{a}$ 且 $\sin\varphi > 0$。
因为 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 是 $f(x)$ 图象的一条对称轴，
所以 $2 \cdot \dfrac{\pi}{6} + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$，
即 $\varphi = \dfrac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$。
因为 $\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} > 0$，所以 $\varphi$ 处于第一或第二象限，取 $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$。
因此 $\tan\varphi = \tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{a}$，解得 $a = \sqrt{3}$。
从而得到 $f(x) = \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$。

3. 检验选项 A 是否正确

将 $x = -\dfrac{7\pi}{12}$ 代入 $f(x)$ 的解析式中：
$f\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\dfrac{7\pi}{12}\right) + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\dfrac{7\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin(-\pi) = 0$
因为 $f\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right) = 0$，所以点 $\left(-\dfrac{7\pi}{12},0\right)$ 是 $f(x)$ 图象的一个对称中心，故 A 正确。

4. 分析并排除其他错误选项 B、C、D

对于 B：$f(x) = \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$，易知其为非奇非偶函数，故 B 错误；
对于 C：令 $-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \le 2x + \dfrac{\pi}{6} \le \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$，
解得 $-\dfrac{\pi}{3} + k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$，
当 $k=0$ 时，单调递增区间为 $\left[-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right]$，而 $\left[-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3}\right]$ 不在其子集内，故 C 错误；
对于 D：将 $y=2\sin 2x$ 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 $\dfrac{1}{2}$，得到 $y=\sin 2x$ 的图象；
再向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度，得到 $y=\sin\left[2\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\right] = \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象，这与 $f(x) = \sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 不一致，故 D 错误。
综上所述，只有 A 正确。