已知函数$f(x)=2\cos ^{2}x+2 \sqrt {3}\sin x\cos x+a$，且当$x∈[0, \dfrac {π}{6}]$时，$f(x)$的最小值为$2$． (1)求$a$的值，并求$f(x)$的单调增区间； (2)将函数$y=f(x)$的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的$\dfrac {1}{2}$，再把所得图象向右平移$\dfrac {π}{12}$个单位，得到函数$y=g(x)$，求方程$g(x)=2$在区间$[0, \dfrac {π}{2}]$上的所有根之和．

1. 利用三角恒等变换公式将 $f(x)$ 化简为 $y=A\sin(\omega x + \varphi) + B$ 的形式

已知 $f(x) = 2\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x + a$．
利用降幂公式及二倍角公式化简得：
$f(x) = (\cos 2x + 1) + \sqrt{3}\sin 2x + a$
$= \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x + a + 1$
利用辅助角公式化简得：
$f(x) = 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) + a + 1$

2. 根据定义域确定相角范围，求出最小值，从而求得 $a$ 的值

因为 $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{6}\right]$，
所以 $2x + \dfrac{\pi}{6} \in \left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right]$．
当 $2x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6}$ 即 $x=0$ 时，$\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ 取得最小值 $\dfrac{1}{2}$．
所以 $f(x)$ 的最小值为 $2 \times \dfrac{1}{2} + a + 1 = a + 2$．
由已知最小值为 $2$，得 $a + 2 = 2 \implies a = 0$．
所以 $f(x) = 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 1$．

3. 求 $f(x)$ 的单调递增区间

由 $2k\pi - \dfrac{\pi}{2} \leqslant 2x + \dfrac{\pi}{6} \leqslant 2k\pi + \dfrac{\pi}{2}\ (k \in \mathbb{Z})$，
解得 $2k\pi - \dfrac{2\pi}{3} \leqslant 2x \leqslant 2k\pi + \dfrac{\pi}{3}$，
即 $k\pi - \dfrac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant k\pi + \dfrac{\pi}{6}\ (k \in \mathbb{Z})$．
所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k\pi - \dfrac{\pi}{3}, k\pi + \dfrac{\pi}{6}\right]\ (k \in \mathbb{Z})$．

1. 根据函数图象的变换规律，求出 $g(x)$ 的解析式

将 $y = f(x) = 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 1$ 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$，得到：
$y = 2\sin\left(4x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 1$
再向右平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个单位，得到：
$g(x) = 2\sin\left[4\left(x - \dfrac{\pi}{12}\right) + \dfrac{\pi}{6}\right] + 1 = 2\sin\left(4x - \dfrac{\pi}{6}\right) + 1$

2. 在给定区间内求解方程 $g(x) = 2$ 的所有根

由 $g(x) = 2$，得 $2\sin\left(4x - \dfrac{\pi}{6}\right) + 1 = 2 \implies \sin\left(4x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$．
因为 $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$，所以 $4x - \dfrac{\pi}{6} \in \left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\right]$．
在此范围内，结合正弦函数性质，有：
$4x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6}$ 或 $4x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$．
解得 $x = \dfrac{\pi}{12}$ 或 $x = \dfrac{\pi}{4}$．

3. 求出所有根之和

方程在 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 上的所有根为 $\dfrac{\pi}{12}$ 和 $\dfrac{\pi}{4}$．
其和为：$\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{3}$．