若双曲线的中心为原点，$F(0,-2)$是双曲线的焦点，过$F$的直线$l$与双曲线相交于$M$，$N$两点，且$MN$的中点为$P(3,1)$，则双曲线的方程为$(\quad)$

A. $\dfrac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$

B. $y^{2}-\dfrac{x^{2}}{3}=1$

C. $\dfrac{y^{2}}{3}-x^{2}=1$

D. $x^{2}-\dfrac{y^{2}}{3}=1$

1. 确定双曲线的焦点位置、方程形式及焦距参数

由题意，双曲线的焦点在 $y$ 轴上，且 $F(0,-2)$ 是其一个焦点，
所以 $c = 2$，$c^2 = 4$。
设双曲线的方程为 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ （其中 $a > 0, b > 0$），则有 $a^2 + b^2 = c^2 = 4$。

2. 求直线 $l$ （即 $MN$）的斜率

因为直线 $l$ 过焦点 $F(0,-2)$ 且与双曲线相交于 $M, N$ 两点，中点为 $P(3,1)$，
所以 $F, M, N, P$ 共线，
则直线 $l$ 的斜率 $k = k_{FP} = \dfrac{1 - (-2)}{3 - 0} = 1$。

3. 利用“点差法”求 $a^2$ 与 $b^2$ 的比例关系

设 $M(x_1, y_1)$，$N(x_2, y_2)$，则有：
$\begin{cases} \dfrac{y_1^2}{a^2} - \dfrac{x_1^2}{b^2} = 1 \\ \dfrac{y_2^2}{a^2} - \dfrac{x_2^2}{b^2} = 1 \end{cases}$
两式相减得：
$\dfrac{y_1^2 - y_2^2}{a^2} - \dfrac{x_1^2 - x_2^2}{b^2} = 0 \implies \dfrac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{a^2} = \dfrac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{b^2}$
变形得：
$\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \cdot \dfrac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} = \dfrac{a^2}{b^2}$
因为 $P(3,1)$ 为 $MN$ 的中点，所以 $x_1 + x_2 = 6$，$y_1 + y_2 = 2$，
又 $k = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = 1$，
代入上式可得：
$1 \cdot \dfrac{2}{6} = \dfrac{a^2}{b^2} \implies b^2 = 3a^2$。

4. 联立求解 $a^2$ 和 $b^2$ 并写出双曲线方程

联立方程组：
$\begin{cases} b^2 = 3a^2 \\ a^2 + b^2 = 4 \end{cases}$
解得 $a^2 = 1$，$b^2 = 3$。
所以双曲线的方程为 $y^2 - \dfrac{x^2}{3} = 1$。
对比选项，只有 B 符合。