已知向量 $\mathbf{a} = (x, 1)$，$\mathbf{b} = (0, 1)$。若向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $30^\circ$，且 $x > 0$，求实数 $x$ 的值。

1. 计算向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的数量积及各自的模长

由已知 $\mathbf{a} = (x, 1)$，$\mathbf{b} = (0, 1)$，利用平面向量数量积与模长公式可得：
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x \times 0 + 1 \times 1 = 1$
$|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}$
$|\mathbf{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$

2. 利用向量夹角公式建立关于 $x$ 的方程并求解 $x^2$

根据向量夹角公式 $\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$，已知夹角 $\theta = 30^\circ$，代入数据得：
$\cos 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} \times 1}$
因为 $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以：
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
两边平方得：
$\frac{3}{4} = \frac{1}{x^2 + 1} \implies 3(x^2 + 1) = 4 \implies 3x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{3}$

3. 结合条件 $x > 0$ 确定 $x$ 的最终值

由 $x^2 = \frac{1}{3}$ 解得：
$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
又因为题目已知 $x > 0$，舍去负解，解得：
$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$