设双曲线的一个焦点为$F$，虚轴的一个端点为$B$，如果直线$FB$与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

A. $\sqrt{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

D. $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

1. 设出双曲线的标准方程，写出焦点$F$与虚轴端点$B$的坐标，并求出直线$FB$的斜率

设双曲线的标准方程为 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>0, b>0$)。
不失一般性，设焦点为 $F(c,0)$，虚轴的一个端点为 $B(0,b)$。
则直线 $FB$ 的斜率为：
$k_{FB} = \dfrac{b-0}{0-c} = -\dfrac{b}{c}$

2. 根据直线$FB$与渐近线垂直，得出$a, b, c$之间的关系式

双曲线的一条渐近线方程为 $y = \dfrac{b}{a}x$，其斜率为 $k = \dfrac{b}{a}$。
因为直线 $FB$ 与该渐近线垂直，所以其斜率之积为 $-1$：
$k_{FB} \cdot k = -1 \implies -\dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{b}{a} = -1$
化简得：
$b^2 = ac$

3. 利用双曲线$a, b, c$的关系以及离心率的定义求出离心率的值

因为 $b^2 = c^2 - a^2$，代入上式得：
$c^2 - a^2 = ac$
两边同除以 $a^2$ 得：
$\left(\dfrac{c}{a}\right)^2 - 1 = \dfrac{c}{a}$
设离心率为 $e = \dfrac{c}{a}$，则有：
$e^2 - e - 1 = 0$
解得 $e = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $e = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$。
因为双曲线的离心率 $e > 1$，所以舍去负值 $e = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$，
得 $e = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。
故选 D。