已知关于$x$的方程$x^{2}-6x+k+7=0$有两个不相等的实数根． (1)求$k$的取值范围； (2)当$k$为正整数时，求方程的根．

1. 根据方程有两个不相等的实数根，列出关于 $k$ 的不等式

因为关于 $x$ 的方程 $x^2-6x+k+7=0$ 有两个不相等的实数根，
所以其判别式 $\Delta = b^2 - 4ac > 0$。
即 $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times (k+7) > 0$。

2. 解不等式求出 $k$ 的范围

展开不等式得：$36 - 4k - 28 > 0$，
化简得：$8 - 4k > 0$，
移项得：$4k < 8$，
解得：$k < 2$。
所以 $k$ 的取值范围是 $k < 2$。

1. 结合 $k$ 的范围和 $k$ 为正整数的条件，确定 $k$ 的值

由 (1) 知 $k < 2$。
因为 $k$ 为正整数，
所以 $k = 1$。

2. 将 $k$ 代入方程并求出其根

将 $k=1$ 代入原方程 $x^2-6x+k+7=0$，得：
$x^2-6x+1+7=0$，即 $x^2-6x+8=0$。
因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$。
解得：$x_1=2$，$x_2=4$。