(1)解方程：$\dfrac{13}{x-4}- \dfrac{10}{x-3}= \dfrac{4}{x-5}- \dfrac{1}{x-1} (2)$已知$a^{2}+4a+1=0$，且，$\dfrac{{a}^{4}+m{a}^{2}+1}{3{a}^{2}+m{a}^{2}+3a}=5$求$m$的值．

1. 分别通分方程左右两边的分式并化简

将方程左、右两边分别通分：
左边：
$\dfrac{13}{x-4} - \dfrac{10}{x-3} = \dfrac{13(x-3) - 10(x-4)}{(x-4)(x-3)} = \dfrac{13x - 39 - 10x + 40}{x^2 - 7x + 12} = \dfrac{3x + 1}{x^2 - 7x + 12}$
右边：
$\dfrac{4}{x-5} - \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{4(x-1) - (x-5)}{(x-5)(x-1)} = \dfrac{4x - 4 - x + 5}{x^2 - 6x + 5} = \dfrac{3x + 1}{x^2 - 6x + 5}$
原方程化为：
$\dfrac{3x + 1}{x^2 - 7x + 12} = \dfrac{3x + 1}{x^2 - 6x + 5}$

2. 移项提公因式并分类讨论求解

移项并提取公因式 $(3x + 1)$：
$(3x + 1)\left(\dfrac{1}{x^2 - 7x + 12} - \dfrac{1}{x^2 - 6x + 5}\right) = 0$
分类讨论：
情形一：当 $3x + 1 = 0$ 时，解得 $x = -\dfrac{1}{3}$。
情形二：当 $3x + 1 \neq 0$ 时，两边同除以 $(3x + 1)$ 得：
$\dfrac{1}{x^2 - 7x + 12} = \dfrac{1}{x^2 - 6x + 5}$
去分母得：
$x^2 - 7x + 12 = x^2 - 6x + 5$
解得 $x = 7$。

3. 检验增根并给出最终解

检验：
当 $x = -\dfrac{1}{3}$ 时，各分母 $x-4, x-3, x-5, x-1$ 均不为 $0$，故 $x = -\dfrac{1}{3}$ 是原方程的解；
当 $x = 7$ 时，各分母均不为 $0$，故 $x = 7$ 也是原方程的解。

综上，原方程的解为 $x = -\dfrac{1}{3}$ 或 $x = 7$。