若关于$x$的分式方程$\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{a}{2-x}=2$的解为正整数，且关于$y$的不等式组$\begin{cases}{\dfrac{y-2}{2}+5< 2y}\\ {y-a\leqslant 0}\end{cases}$无解，则满足条件的所有整数$a$的值之和是$(\quad)$

A. $-18$

B. $-14$

C. $-10$

D. $-6$

1. 解关于 $x$ 的分式方程，确定使解为正整数且无增根的 $a$ 的条件

原分式方程可变形为：
$\dfrac{4}{x-2} + \dfrac{a}{x-2} = 2$
$\dfrac{4+a}{x-2} = 2$
去分母得：
$4+a = 2(x-2)$
$2x = a+8$
$x = \dfrac{a+8}{2}$
由于原分式方程有解，且分母 $x-2 \neq 0$，则 $x \neq 2$。
若 $x = 2$，得 $\dfrac{a+8}{2} = 2 \implies a = -4$，故 $a \neq -4$。
又因为方程的解 $x$ 为正整数，所以 $a+8$ 必须为正偶数，且 $a+8 \neq 4$。
即 $a+8 \geqslant 2$ 且 $a$ 为偶数，解得 $a \geqslant -6$ 且 $a \neq -4$ 且 $a$ 为偶数。

2. 解关于 $y$ 的不等式组，根据“无解”条件求出 $a$ 的取值范围

解不等式组中的第一个不等式：
$\dfrac{y-2}{2}+5 < 2y$
去分母得：
$y-2+10 < 4y$
$3y > 8$
$y > \dfrac{8}{3}$
第二个不等式为 $y \leqslant a$。
因为该不等式组无解，所以在数轴上 $y > \dfrac{8}{3}$ 与 $y \leqslant a$ 没有公共部分，因此：
$a \leqslant \dfrac{8}{3}$

3. 综合所有条件求出满足条件的所有整数 $a$ 的值并计算其和

综合上述条件，整数 $a$ 需满足：

1. $a$ 为偶数；
2. $-6 \leqslant a \leqslant \dfrac{8}{3}$；
3. $a \neq -4$。
   满足条件的整数 $a$ 的所有可能取值为：$-6, -2, 0, 2$。
   这些值的和为：
   $(-6) + (-2) + 0 + 2 = -6$
   对应选项 D。