已知一个正整数 $n$ 满足：$n$ 的所有因数中，只有两个因数是质数，且这两个质数的和为 $15$。请问：在不超过 $100$ 的正整数中，满足上述条件且本身是合数的 $n$ 共有多少个？请写出你的分析与推理过程。

1. 确定正整数 $n$ 的所有质因数

设 $n$ 的两个质因数为 $p$ 和 $q$（假设 $p < q$）。
根据题意，这两个质数的和为 $15$，即 $p + q = 15$。
因为 $15$ 是奇数，两个整数之和为奇数则必为“一奇一偶”。
由于唯一为偶数的质数是 $2$，故必有 $p = 2$。
进而可得 $q = 15 - 2 = 13$（$13$ 也是质数）。
所以，$n$ 的质因数只有 $2$ 和 $13$。

2. 写出 $n$ 的标准质因数分解形式并验证合数条件

因为 $n$ 的因数中只有 $2$ 和 $13$ 是质数，所以 $n$ 的质因数分解形式为：
$n = 2^a \times 13^b \quad (a \geqslant 1, b \geqslant 1, a, b \in \mathbb{Z}^+)$
当 $a \geqslant 1$ 且 $b \geqslant 1$ 时，$n \geqslant 2^1 \times 13^1 = 26$。
由于 $n$ 含有质因数 $2$ 和 $13$，且 $n > 13$，因此符合条件的 $n$ 必然本身就是合数。

3. 分类讨论枚举所有不超过 100 的正整数 $n$

需要满足 $n = 2^a \times 13^b \leqslant 100$：

1. 当 $b = 1$ 时， $2^a \times 13 \leqslant 100 \implies 2^a \leqslant \frac{100}{13} \approx 7.69$。
   • 若 $a = 1$，则 $n = 2^1 \times 13^1 = 26 \leqslant 100$；
   • 若 $a = 2$，则 $n = 2^2 \times 13^1 = 52 \leqslant 100$；
   • 若 $a = 3$，则 $n = 2^3 \times 13^1 = 104 > 100$（超出范围）。
2. 当 $b \geqslant 2$ 时，最小值为 $2^1 \times 13^2 = 338 > 100$（超出范围）。

综上，满足条件的正整数 $n$ 只有 $26$ 和 $52$。

4. 得出最终计数结论

因此，不超过 $100$ 的正整数中，满足条件的合数 $n$ 共有 $2$ 个。