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垂足与距离

点到直线或平面的垂足及距离。

这个知识点的练习题

  1. 1直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 r=(4110)+λ(1−1−6),λ∈R\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -6 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}…
  2. 2一家钻探公司计划在山中铺设一条直管道 ABAB。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于山脚下坐标为 (0,0,0)(0, 0, 0) 的主控制中心定义的，其中单位为米。xx 轴指向东，yy 轴指向北，zz 轴垂直向上。点 AA 的坐标为 (−200,150,10)(-200, 150, 10)…
  3. 3以原点 OO 为基准，点 AA、PP 和 QQ 的位置向量分别为 a\mathbf{a}、p\mathbf{p} 和 q\mathbf{q}。一条穿过点 AA 的直线 ll 平行于单位向量 e\mathbf{e}。 点…
  4. 4平面 Π1\Pi_1 和 Π2\Pi_2 的向量方程分别为 r=λ1(i+j−k)+μ1(2i−j+k)andr=λ2(i+2j+k)+μ2(3i+j−k)\mathbf{r} = \lambda_1(\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}) + \mu_1(2\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}) \quad \text{and} \quad \mathbf{r} = \lambda_2(\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) + \mu_2(3\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k})…
  5. 5一位室内设计师正计划设计一个下拉式衣柜升降机。为了测试他的设想，设计师制作了一个它的微缩模型。在这个模型中，点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于模型的一个拐角 O(0,0,0)O(0, 0, 0) 来定义的。模型中使用的杆可以用直线方程来建模。 主杆可…
  6. 6下图显示了一个四面体 ABCDABCD。平面 ABDABD 的方程为 4x+y+2z=164x + y + 2z = 16。 已知 AA 在 xx 轴上，求 AA 的坐标。 平面 CBDCBD 的方程为 7x−11y−5z=−237x - 11y - 5z = -23。 求穿过…
  7. 7点 AA 和 BB 的坐标分别为 (0,2,0)(0, 2, 0) 和 (1,0,2)(1, 0, 2)，且平面 π1\pi_1 的方程为 r⋅(221)=4\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 4…
  8. 8为了应对不断增加的 COVID-19 病例，建立了一个临时隔离中心。其屋顶呈三角柱体形状。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于原点 OO 定义的，其中单位向量 i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 和 k\mathbf{k}…
  9. 9平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1: \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} = \alpha + 20, \; \alpha \in \mathbb{R},…
  10. 10以原点 OO 为基准，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}。点 CC 在 OBOB 上，使得 OC→=pOB→\overrightarrow{OC}=p\overrightarrow{OB}…
  11. 11平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程由下式给出： p1:  r⋅(α72)=α+20,  α∈R,p_1:\;\mathbf{r}\cdot \begin{pmatrix}\alpha\\7\\2\end{pmatrix} = \alpha + 20,\; \alpha \in \mathbb{R},…
  12. 12以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = a 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = b，其中 aa 不平行于 bb。点 PP 在 ABAB 的延长线上，且满足…
  13. 13相对于原点 OO，点 AA 和 BB 分别具有非零且不平行的位置向量 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。平面 pp 的方程为 r⋅n=0\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = 0。 已知 a⋅n=b⋅n≠0\mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{n} \ne 0…
  14. 14平面 pp 和 qq 互相垂直。平面 pp 的方程为 2x−z=102x - z = 10。平面 qq 包含具有如下方程的直线 ll： r=(5−34)+λ(2−21),\mathbf{r} = \begin{pmatrix}5 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix},…
  15. 15在图中，点 OO 是直角棱锥顶角为 VV、底面为长方形 ABCDABCD 的中心。相互垂直的单位向量 i, j, k 分别平行于 AB, BC, OV。ABAB、BCBC 和 OVOV 的长度分别为 1212 单位、66 单位和 66…
  16. 16OABCOABC 是一个菱形。点 AA 和 CC 满足 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a} 且 OC→=c\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}。点 MM 是该菱形的中心，且角 AOCAOC 为…
  17. 17分别由方程 2x+y=12x+y=1 和 8x+ay+z=48x+ay+z=4 给出的两个平面 p1p_{1} 和 p2p_{2} 相交于一条直线 LL，该直线包含点 A(0,1,0)A(0,1,0)。 证明 a=4a=4，并由此求直线 LL 的向量方程。 另一个点 BB…
  18. 18平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程分别为 r=(4−13)+s(3−17)+t(1−312)\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}…
  19. 19以原点 OO 为基准，点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。 点 CC 的位置向量为 a+b\mathbf{a} + \mathbf{b}。指出由 O,A,BO, A, B 和 CC…
  20. 20在一个电脑游戏中，一个斜面可以建模为包含三个点 A(1,0,−3)A(1, 0, -3)、B(1,4,−15)B(1, 4, -15) 和 C(2,3,−14)C(2, 3, -14) 的平面 pp。 证明 pp 的方程为 r⋅(231)=−1\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = -1…
  21. 21以原点 OO 为参考点，点 AA 和 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}。OAOA 上的点 CC 满足 OC:OA=1:3OC : OA = 1 : 3…
  22. 22平面 pp 通过点 AA、BB 和 CC，它们的坐标分别为 (0,1,1)(0, 1, 1)、(2,−1,4)(2, -1, 4) 和 (−2,−1,0)(-2, -1, 0)。 证明平面 pp 的笛卡尔方程为 2x−y−2z=−32x - y - 2z = -3。 直线 ll…
  23. 23平面 Π\Pi 的方程为 2x−3y+6z=72x-3y+6z=7，直线 ll 的方程为 r=8i−2j+8k+t(3i−j+2k)\mathbf{r}=8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+8\mathbf{k}+t(3\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})…
  24. 24相对于原点 OO，点 PP 和 QQ 的位置向量分别为 4i+4j+3k4\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k} 和 8i+8j−k8\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - \mathbf{k}。 求直线…
  25. 25点 A 的坐标为 (1, -2, 4)，平面 π1\pi_1 的方程为 2x−y+2z=5.2x - y + 2z = 5. 求 A 到 π1\pi_1 的最短距离准确值。 平面 π2\pi_2 的方程为 x+3y−az=3x+3y-az=3，其中 aa 为常数。 用…
  26. 26相对于原点 OO，定点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}，其中 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 是非零且不平行的向量。 动点 RR 的位置向量为 r=λa+(1−λ)b\mathbf{r} = \lambda \mathbf{a} + (1 - \lambda)\mathbf{b}…
  27. 27平面 π1\pi_1 包含点 (2,−2,1)(2,-2,1) 和直线 r=(018)+λ(023),\mathbf{r} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 8\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix},…
  28. 28四面体 OABCOABC 具有四个三角形面，顶点 OO 位于原点。AA、BB 和 CC 的坐标分别为 (9,0,0)(9, 0, 0)、(0,2,0)(0, 2, 0) 和 (0,0,3)(0, 0, 3)（见图）。 求面 ABCABC 的笛卡尔方程。 求面 ABCABC…
  29. 29直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 x−13=y−2a,z=1与r=(120)+λ(−111),λ∈R\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{a}, z = 1 \quad \text{与} \quad \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}…
  30. 30平面 p 和 q 的方程分别为： r=(2+λ−2μ) i+(−3λ+μ) j+(3−λ+2μ) kr = (2 + \lambda - 2\mu)\,\mathbf{i} + (-3\lambda + \mu)\,\mathbf{j} + (3 - \lambda + 2\mu)\,\mathbf{k}…
  31. 31平面 π1\pi_1 的方程为 r⋅(251)=11.\mathbf{r}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}=11. 平面 π2\pi_2 经过点 A(1,−1,2),  B(2,3,4)A(1,-1,2),\; B(2,3,4) 和…
  32. 32甲烷 ( CH_4 ) 是一种具有四面体结构的化合物。4 个氢 (H) 原子构成一个正四面体，碳 (C) 原子位于中心。 设碳（C）原子的中心为点 P，4 个氢（H）原子的中心为点 Q、R、S 和 T。P、Q、R、S 和 T 的坐标分别为…
  33. 33一个位于水平平坦地面上的机场必须管理飞机从其跑道起飞的飞行航线。这些飞行航线可以假设为直线，飞机可以假设为质点。 在下方图中，标记的点是相对于机场上坐标为 (0,0,0)(0,0,0) 的原点 O 定义的。xx 轴、yy 轴和 zz 轴的方向分…
  34. 34直线 ll 的方程为 1−x=z−α2,y=11 - x = \frac{z - \alpha}{2}, y = 1，其中 α\alpha 为常数。 已知直线 ll 与 yzyz 平面的交点为 (0,1,5)(0, 1, 5)，证明 α=3\alpha = 3。 以…
  35. 35直线 l1l_1 的向量方程为 r=(a10)+λ(01b), λ∈R,\mathbf{r}=\begin{pmatrix}a\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\1\\b\end{pmatrix},\ \lambda\in\mathbb{R},…
  36. 36平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程分别由下式给出 r=s(011)+t(3−12),s,t∈Randr⋅(α3β)=7,\mathbf{r} = s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R} \quad \text{and} \quad \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ 3 \\ \beta \end{pmatrix} = 7,…
  37. 37平面 Π1\Pi_1 的方程为 r=i+2j+k+θ(2j−k)+ϕ(3i+2j−2k).\mathbf{r} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} + \theta(2\mathbf{j} - \mathbf{k}) + \phi(3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}).…
  38. 38相对于原点，定点 AA 的位置向量为 a\mathbf{a}。直线 ll 的方程为 r=sd\mathbf{r} = s\mathbf{d}，其中 ss 是一个参数，d\mathbf{d} 是一个与 a\mathbf{a} 不平行的…
  39. 39平面 Π1\Pi_1 经过点 A(1,4,2)A(1,4,2)、 B(1,0,5)\ B(1,0,5) 和 C(0,8,−1)C(0,8,-1)。 求 Π1\Pi_1 的笛卡尔方程。 求点 P(2,1,2)P(2,1,2) 到平面 Π1\Pi_1 的最短距离。 第二个平面 Π2\Pi_2 经…
  40. 40一名设计师想要建造一个倾斜的屋顶，该屋顶连接在一面垂直的矩形墙壁上，该墙壁位于水平地面上方，如下图所示。假设屋顶和墙壁的厚度均可忽略不计。 点 (x,y,z)(x, y, z) 的定义是相对于墙角 O(0,0,0)O(0,0,0) 而言的，单位为米。单位向量 i\mathbf{i}…
  41. 41两条直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 x−12=−z−1,y=2\frac{x - 1}{2} = -z - 1, y = 2 与 x+3=4−y=z+2x + 3 = 4 - y = z + 2。 判断 l1l_1 与 l2l_2 是否相交，并写出交点坐标（若有）…
  42. 42平面 p1p_1 的方程为 x−y+z=0x - y + z = 0，平面 p2p_2 的方程为 x+y+z=2x + y + z = 2。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 之间的锐角。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 交线的向量方程。 以原点 OO…
  43. 43两个平面 P1P_1 和 P2P_2 的方程分别为 x−2y+3z=4x - 2y + 3z = 4 和 3x+2y−z=43x + 2y - z = 4。 第三个平面 P3P_3 的方程为 5x−ky+6z=15x - ky + 6z = 1，其中 kk 是常数。 平面 P1P_1…
  44. 44直线 ℓ\ell 的方程为 x−a2=y−2=1−2zb\dfrac{x-a}{2}=y-2=\dfrac{1-2z}{b}，其中 aa 和 bb 为实常数。平面 π\pi 的方程为 3x−y+4z=103x-y+4z=10。 已知直线 ℓ\ell 与平面 π\pi…
  45. 45直线 ll 的方程为 x−1−2=y=z+74\frac{x-1}{-2}=y=\frac{z+7}{4}，平面 pp 的方程为 x−z=2x-z=2。 求 ll 与 pp 之间的锐角。 求 ll 与 pp 相交点的坐标。 从坐标为 (1,0,−7)(1,0,-7)…
  46. 46以原点 O 为基准，点 A 的位置向量为 −i−3j+3k-\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}。平面 π\pi 和直线 ll 的方程分别为 r=(421)+λ(−132)+μ(23−4)\mathbf{r} = \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -4\end{pmatrix}…
  47. 47相对于原点 OO，两个定点 AA 和 BB 的位置向量分别为 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。点 PP 的位置向量 p\mathbf{p} 由 p=λa+(1−λ)b\mathbf{p}=\lambda\mathbf{a}+(1-\lambda)\mathbf{b}…
  48. 48玩家在虚拟现实游戏中控制一个角色，其中点 (x,y,z)(x,y,z) 是相对于固定点 OO 定义的。长度单位为米，且我们假设角色在点与点之间沿直线移动。 起初，角色位于坐标为 (−3,4,−1)(-3,4,-1) 的点 AA。角色首先沿着平行于 i−3j\mathbf{i}-3\mathbf{j}…
  49. 49平面 π1\pi_1 和 π2\pi_2 相交于直线 l1l_1，它们的方程分别为 π1:r⋅(2−31)=25 且 π2:x+ky−2z=−15,\pi_1 : \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = 25 \text{ 且 } \pi_2 : x + ky - 2z = -15,…
  50. 50平面 Π1\Pi_1 和 Π2\Pi_2 的方程分别为 r⋅(i−2j+k)=4\mathbf{r} \cdot (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) = 4 和 r=3i−j+k+λ(−i+j+k)+μ(4i+j)\mathbf{r} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} + \lambda(-\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) + \mu(4\mathbf{i} + \mathbf{j})…
  51. 51一个四面体有四个顶点 O, A, B 和 C，其中 O 为原点。已知 B 的坐标为 (1, 4, 6)，且直线 AB 的方程为 r=i+4j+6k+λ(2i+aj+ak)\mathbf{r} = \mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k} + \lambda(2\mathbf{i} + a\mathbf{j} + a\mathbf{k})…
  52. 52在以原点 OO 为参考点的空间中，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}，其中 a\mathbf{a}…
  53. 53上图展示了一个玩具房屋，其水平矩形底面为 ABCDABCD，其中 AB=30 cmAB = 30\text{ cm} 且 BC=20 cmBC = 20\text{ cm}。有两个垂直矩形墙面 ABFEABFE 和 DCGHDCGH，其中 AE=BF=CG=DH=10 cmAE = BF = CG = DH = 10\text{ cm}…
  54. 54以原点 OO 为基准，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 3i−j3\mathbf{i} - \mathbf{j}、5i+3j+4k5\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k} 和 2i+αj+2k2\mathbf{i} + \alpha\mathbf{j} + \sqrt{2}\mathbf{k}…
  55. 55一艘护卫舰停泊在位置 F(1,2,0)F(1, 2, 0)。两艘潜艇 S1S_1 和 S2S_2 位于海面以下。潜艇 S1S_1 处于位置 A(−2,−1,−1)A(-2, -1, -1)，并沿着平行于向量 −3i+2j−k-3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}…
  56. 56平面 P1,P2P_1, P_2 的方程为 P1:r=(−3103)+λ(−2123)+β(111),λ,β∈RP_1:\quad \mathbf{r} = \begin{pmatrix}-3 \\ 10 \\ 3\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}-2 \\ 12 \\ 3\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\quad \lambda,\beta \in \mathbb{R}…
  57. 57点 A 的坐标为 (1, -2, 4)，平面 π1\pi_{1} 的方程为 2x−y+2z=52x - y + 2z = 5。 平面 π2\pi_{2} 的方程为 x+3y−az=3x+3y-az=3，其中 aa 为常数。 平面 π3\pi_{3} 的方程为 bx−2y+4z=3bx-2y+4z=3…
  58. 58平面 Π\Pi 的方程为 2x−3y+6z=72x-3y+6z=7，直线 ll 的方程为 r=8i−2j+8k+t(3i−j+2k)\mathbf{r}=8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+8\mathbf{k}+t(3\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})…
  59. 59平面 pp 的方程为 x−2y+2z=12x - 2y + 2z = 12。以原点 OO 为基准，点 AA 的位置向量为 2i+j−3k2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 3\mathbf{k}。 求从 AA 到 pp 的垂足 NN 的…
  60. 60图示为一个具有水平矩形底面 OABCOABC 的立体，其中 OAOA 和 OCOC 的长度分别为 12 m12\text{ m} 和 8 m8\text{ m}。MM 和 NN 分别是 OCOC 和 ABAB 的中点，且 DD 和 EE 分别…