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这个知识点的练习题

1一家钻探公司计划在山中铺设一条直管道 $AB$ 。点 $(x, y, z)$ 是相对于山脚下坐标为 $(0, 0, 0)$ 的主控制中心定义的，其中单位为米。 $x$ 轴指向东， $y$ 轴指向北， $z$ 轴垂直向上。点 $A$ 的坐标为 $(-200, 150, 10)$ …
2NJC JC1 Promo 9758/2019/Q6 一个容器是通过从一个半顶角为 $\alpha$ 的大圆锥中切去一个半径为 5 m 的小圆锥而制成的，其中 $\tan\alpha = 0.5$ 。水以 $k\sqrt{h}\ \mathrm{m^{3}\ per\ minute}$ …
3[球体的表面积和体积分别由 $4\pi r^2$ 和 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ 给出。] 一位预算固定为 $k 的水族爱好者想要建造一个金鱼避难所（鱼缸）。他设计的鱼缸包括一个圆形顶盖、一个长度为 $L$ cm 的圆柱体…
4图 1 展示了一张卡片 $ABCD$ ，它是一个边长为 $a$ cm 的菱形。该卡片由两个完全相同的等边三角形 $ABD$ 和 $CBD$ 组成。从每个角剪掉筝形，得到图 2 所示的形状。将图 2 中剩余的卡片沿虚线折叠，形成一个高为 $x$ …
5如图所示，一个 V 形水箱的尺寸为 $L = 4\text{ m}$ ， $W = 0.6\text{ m}$ ， $H = 0.7\text{ m}$ 。水箱最初是空的。水以 $0.0025\text{ m}^3/\text{s}$ 的速率被泵入水…
6如图所示，点 $Q$ 在点 $A$ 的正上方 $400\text{ m}$ 处。初始时，一个气球位于点 $Q$ ，并以 $10\text{ m}$ 每秒的恒定速度沿水平直线运动，远离位于点 $A$ 的观察者。在开始后的时刻 $t$ 秒时，气球…
7上图显示了一个带有封闭圆形底面的直圆锥。它的底面圆半径为 $4\text{ cm}$ ，高为 $12\text{ cm}$ ，最初装满了水。水正从圆锥的底面以 $2\pi\text{ cm}^3\text{ min}^{-1}$ 的速率泄漏。如…
8在某栋建筑中，有一个 $L$ 形通道（见下图）。通道 1 的固定宽度为 3 米，与通道 1 垂直的通道 2 的固定宽度为 2 米。点 $A$ 和点 $B$ 分别位于通道 1 和通道 2 的一侧墙壁上，使得线段 $AB$ 接触转角 $O$ ，且…
9点 $P$ 沿方程为 $y = x \sin^{-1} x$ （ $-1 < x < 1$ ）的曲线 $C$ 移动。设曲线 $C$ 在点 $P$ 处的斜率为 $m$ 。如果在 $x = \frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 的 $x$ 坐标以…
10画出方程为 $\frac{x^2}{400} + \frac{(y-10)^2}{900} = 1.$ 的曲线草图。 [无需在曲线上标出 $x$ 轴截距。] 由该曲线、 $x$ 轴、 $y$ 轴以及直线 $y = 30$ 所围成的位于第…
11曲线 C 由参数方程定义： $x = \cos\theta - \dfrac{1}{\cos\theta},\ \ y = \cos\theta + \dfrac{1}{\cos\theta},\ \ -\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}.$ …
12一个半径为 15 cm 的半球形金鱼缸（如上图所示）最初装满了水。该鱼缸有缺陷，水正以 20 cm^3/min 的恒定速率泄漏。鱼缸中水的体积由下式给出： $V = \frac{\pi}{3}\left(45h^2 - h^3\right),$ …
13NJC JC1 Promo 9758/2019/Q6 一个容器是通过从一个半顶角为 $\alpha$ （其中 $\tan \alpha = 0.5$ ）的大圆锥中挖去一个半径为 5 m 的小圆锥而制成的。水以 $k\sqrt{h}\text{ m}^3$ …
14如图所示，一个高为 2 单位、半径为 $r$ 且母线长为 $l$ 的直圆锥内接于一个半径为 $R$ 的球体中。证明 $A = 4\pi\sqrt{R^{2}-R}$ ，其中 $A$ 是圆锥的侧面积。若球体的体积以 8 单位^3/秒的速率…
15[半径为 $r$ 的球体表面积为 $4\pi r^2$ ，体积为 $\frac{4}{3}\pi r^3$ 。] 碧山东公园中心将建造一个喷水池。它由一个半径为 $r$ m 的半球体与一个半径为 $r$ m、高为 $h$ m 的无盖圆柱体相连组…
16曲线 $C$ 的方程为 $3x^2 - 2xy + 5y^2 = 14.$ 证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{3x - y}{x - 5y}.$ 求曲线 $C$ 上切线平行于 y 轴的点精确的 x 坐标。动点 $P(x,y)$ …
17[Cambridge/1998] 一个球形气球正在被充气，在其半径为 3 m 的瞬间，其表面积以 2 m $^2$ s $^{-1}$ 的速率增加。求在同一瞬间： [球体的表面积和体积公式分别为 $A = 4\pi r^2$ 和 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ …
18某公司制造一个如下图所示的玻璃密封容器。该密封容器的厚度忽略不计，由两个部分组成。底部是一个底面半径为 $r\text{ cm}$ 、高为 $h\text{ cm}$ 的圆柱体。顶部是一个半径为 $r\text{ cm}$ 的半球。公司要求…
19一个半径为 15 cm 的半球形金鱼缸（如上图所示）最初装满了水。鱼缸有一个缺陷，水正在以 20 cm^3/min 的恒定速率泄漏。鱼缸中水的体积由下式给出： $V = \frac{\pi}{3}(45h^2 - h^3),$ 其中 $h$ …
20一家受欢迎的玩具公司正在为儿童设计一种新的戏水装置。该玩具由一个圆柱形水容器组成，用于盛水以进行各种嬉戏活动。这个圆柱形容器设计为内接于一个固定的、由厚度可忽略不计的耐用塑料制成的刚性半球形外壳中。 [图：下方的横截面图显示了一个半径为 $2a$ …
21在一项测试将新型空间望远镜发射升空的设计理论的实验中，科学家们借助计算机分析程序，在一个实验系统中监测一个带电粒子的运动，该程序在 $x-y$ 平面上以曲线的形式呈现其运动路径。发射后 $t$ 分钟，粒子的 $x$ 和 $y$ 坐标由以下参…
22[剑桥/9709/2009] 一个地下储水罐正在被注满液体（如图所示）。初始时储水罐是空的。在开始注水后 $t$ 小时，液体的体积为 $V\text{ m}^3$ ，液体的深度为 $h\text{ m}$ 。已知 $V = \frac{4}{3}h^3$ …
23某晶圆制造公司采用区熔法（floating-zone method）来提纯多晶硅锭，每个硅锭具有均匀的横截面积，长度为 200 cm。该方法包括将杂质浓度为 $C_0$ 原子/ $\text{cm}^3$ 的多晶硅锭放置在单个籽晶的顶部。然后…
24[已知半径为 $r$ 、高为 $h$ 、母线长为 $l$ 的圆锥的侧面积为 $\pi r l$ 。] 制造一个圆锥形的饮水杯。其体积为 $50\pi\ \text{cm}^3$ 。证明： $A^2 = \frac{22500\pi^2}{r^2} + \pi^2 r^4,$ …
25[剑桥/9709/2004] 一个矩形蓄水池的水平底面积为 1000 $\text{m}^2$ 。在时间 $t = 0$ 时，蓄水池是空的，水开始以 30 $\text{m}^3\text{ s}^{-1}$ 的恒定速率流入。与此同时…
26吉姆将一根 8 m 长的杆 $XY$ 靠在一面垂直的墙上，如下图所示。点 $O, X$ 和 $Y$ 共面，其中 $O$ 是垂直墙面与水平地面的交点。在时间 $t$ 秒时，端点 $X$ 和 $Y$ 距离 $O$ 的距离分别为 $x$ 和 $y$ …
27在一部科幻电影中，创建了一个半球形的能量保护罩（一个敞开的半球），以保护一个正在建造的用于存放致命武器的圆柱形筒仓。筒仓顶部的圆周刚好位于半球罩内，如下图所示。由于电力供应限制，生成的半球罩半径 $r$ 固定为 $0.5\text{ km}$ …
28大卫操控一架无人机，其飞行轨迹为曲线 $C$ ，由方程 $y = 2^x$ 建模，其中 $x 60; 0$ 且 $y > 0$ 。他站在原点 $O$ 处，并在点 $P(a,b)$ 处看到了无人机。假设大卫的视线是曲线 $C$ 在点 $P$ 处且…
29一个圆锥形杯子由厚度可忽略不计的纸张制成，用于盛装 $20\pi\text{ cm}^3$ 的液体。该开口倒置圆锥的半径为 $r\ \text{cm}$ ，高为 $h\ \text{cm}$ ，如上图所示。杯子的外表面积记为 $A\ \text{cm}^2$ …
30曲线 $C$ 的参数方程为 $x = \frac{\lambda}{1 + \lambda^3} \quad \text{and} \quad y = \frac{\lambda^2}{1 + \lambda^3}, \quad \text{for } \lambda > 0.$ …
31[ 底面半径为 $r$ 且高为 $h$ 的圆锥，其体积公式为 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ 。 ] 一种用于饮水机的一次性纸杯呈圆锥形，由一张半径为 8 cm、厚度可忽略不计的圆形纸片制成。从纸片上剪下一个扇形，如图1…
32图 1 展示了一张边长为 $a$ cm 的菱形纸板 $ABCD$ 。该纸板由两个完全相同的等边三角形 $ABD$ 和 $CBD$ 组成。从每个角剪掉风筝形，得到图 2 所示的形状。将图 2 中剩余的纸板沿虚线折叠，形成一个高为 $x$ 的无盖…
33一个小金属球从一个高圆柱形容器内的液体表面被释放。金属球在液体中垂直下落，并测得在时间 $t$ 秒内小球下落的距离为 $x$ cm。小球在时间 $t$ 秒时的速度为 $v\text{ cm s}^{-1}$ 。释放小球的方式使得当 $t = 0$ …
34水以每分钟 0.1 $\text{m}^3$ 的速率注入一个敞口圆锥形容器中。圆锥的半顶角为 $30^\circ$ 。在开始后 $t$ 分钟时，水面的半径为 $r$ m（见图）。求当水的体积为 3 $\text{m}^3$ 时，水深增加的速率…
35一个扇形的半径为 $r$ cm，角为 $\theta$ 弧度。该扇形的面积为 $A\text{ cm}^2$ ，周长为固定值 $k$ cm。证明 $\frac{\text{d}A}{\text{d}r} = \frac{k}{2} - 2r$ …
36画出方程为 $\displaystyle\frac{x^2}{400}+\frac{(y-10)^2}{900}=1.$ [无需在曲线上标出 x 轴截距。] 由该曲线、x 轴、y 轴以及直线 $y=30$ 所围成的位于第一象限的区域绕…
37在一部科幻电影中，为了保护一个正在建造的用于存放致命武器的圆柱形筒仓，创建了一个半球形的力场护盾（一个开半球）。筒仓顶部的圆周恰好位于半球护盾内部，如下图所示。电力供应使得生成的护盾半径 $r$ 固定为 0.5 km。设筒仓的半径和高度分别…
38[Cambridge/2006] 求曲线 $3x^2 + xy + y^2 = 33$ 上切线平行于 $x$ 轴的点坐标。一个半顶角为 $45^\circ$ 的空心圆锥体，其轴线垂直，顶点向下放置（见图）。在实验开始时，它装满…
39[半径为 $r$ 的球体表面积为 $4\pi r^2$ ，体积为 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ 。] 碧山东公园正中央将建造一个喷水池。它由一个半径为 $r$ 的半球连接到一个半径为 $r$ 、高度为 $h$ 的无盖圆柱体组成（见图…
40如图所示，点 Q 在点 A 正上方 400 m 处。起初，一个气球在点 Q，并以 10 m/s 的恒定速度沿水平直线运动，远离位于点 A 的观察者。在开始 $t$ 秒后，气球位于点 P 处，其中 QP 为 $x$ m，且从观察者 A 处看气…
41Jesse 将一根长为 6 米的杆子 $XY$ 靠着，其位置如下图所示。在时间 $t$ 秒时，两端 $X$ 和 $Y$ 距离 $O$ 的距离分别为 $x$ 和 $y$ 米。写出联系 $x$ 与 $y$ 的方程。当杆子下滑时，Jesse…
42在时刻 $t$ （其中 $0 < t < \frac{\pi}{3}$ ），一个质点沿某路径运动，其参数方程定义为 $x = \cot 3t \quad \text{和} \quad y = 2\csc 3t + 1.$ 该路径在点 $P(\cot 3p, 2\csc 3p + 1)$ …
43图 1 一片药片在水中溶解，它被建模为一个圆柱体，如图 1 所示。在放入水中 $t$ 秒后，药片的半径为 $x$ mm，厚度为 $\frac{1}{3}x$ mm。药片的圆形横截面积正以 0.5 mm^2 每秒的恒定速率减少。当 $x = 5$ …
44一根长度为 3.12 m 的梯子正沿着一堵竖直的墙滑下，使得梯子的底部以 0.2 m/s 的恒定速率沿地面移动（见图）。求当梯子顶部距离地面 1.2 m 时，其沿墙下滑的速率。
45一片药片在水中溶解，并被建模为圆柱体，如图 1 所示。在落入水中 $t$ 秒后，药片的半径为 $x$ mm，其厚度为 $\frac{1}{3}x$ mm。药片的圆形横截面积正以每秒 $0.5\text{ mm}^2$ 的恒定速率减少。当…
46一个质点在时间 $t$ （其中 $0 < t < \dfrac{\pi}{3}$ ）沿某路径运动，该路径由参数方程定义为 $x = \cot 3t$ 且 $y = 2\,\cosec 3t + 1$ 。路径在点 $P\bigl(\cot 3p,\;2\cosec 3p + 1\bigr)$ …
47[半径为 $r$ 的球体体积由 $\frac{4}{3}\pi r^3$ 给出，半径为 $r$ 的球体表面积由 $4\pi r^2$ 给出。] 一个正在膨胀的球体体积以 $5\text{ cm}^3\text{s}^{-1}$ 的恒定变化率…
48作为游戏的一部分，一个人站在距离墙壁 $x$ 米的地方，试图将一个物体扔过墙上一个 $0.40$ 米宽的孔洞。点 $B$ 表示孔洞的底部，位于地面上方 3.05 米处。物体是从距离地面高度为 1.75 米的点 $P$ 处投出的。角 $APB$ …
49Trinity de Rale 是一位新晋的装置艺术家。她最新的移动艺术作品由两条固定轨道组成，它们在 $O$ 点处呈 $60^\circ$ 角放置（见图）。一根固定长度为 $L$ cm 的连杆 $PQ$ 放置在轨道上，其两端 $P$ 和…