一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成$15$和$18$两部分，则这个等腰三角形的底边长是___.

1. 设出未知数并根据题意分类讨论，建立第一种情况的方程组

设等腰三角形的腰长为 $x$，底边长为 $y$。
一腰上的中线将该腰分成相等的两部分，长度均为 $\dfrac{1}{2}x$。
因此，周长被分成的两部分分别为 $x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2}x$ 和 $\dfrac{1}{2}x + y$。
若第一部分为 $15$，第二部分为 $18$，可列出方程组：
$\begin{cases} \dfrac{3}{2}x = 15 \\ \dfrac{1}{2}x + y = 18 \end{cases}$

2. 求解第一种情况并用三角形三边关系进行检验

解方程组：
由 $\dfrac{3}{2}x = 15$ 得 $x = 10$；
代入 $\dfrac{1}{2}x + y = 18$ 得 $5 + y = 18$，解得 $y = 13$。
此时三角形三边长分别为 $10, 10, 13$。
因为 $10 + 10 = 20 > 13$，满足三角形三边关系，故底边长 $y = 13$ 成立。

3. 建立并求解第二种情况的方程组

若第一部分为 $18$，第二部分为 $15$，可列出方程组：
$\begin{cases} \dfrac{3}{2}x = 18 \\ \dfrac{1}{2}x + y = 15 \end{cases}$
解方程组：
由 $\dfrac{3}{2}x = 18$ 得 $x = 12$；
代入 $\dfrac{1}{2}x + y = 15$ 得 $6 + y = 15$，解得 $y = 9$。
此时三角形三边长分别为 $12, 12, 9$。
因为 $12 + 9 = 21 > 12$，满足三角形三边关系，故底边长 $y = 9$ 成立。

4. 总结得出最终结论

综上所述，该等腰三角形的底边长为 $13$ 或 $9$。