点$A(-1,-2)$关于直线$l:x-y+1=0$的对称点$Aˈ$的坐标为 ___

1. 设对称点坐标并根据两点连线与已知直线垂直建立斜率方程

设点 $A(-1,-2)$ 关于直线 $l:x-y+1=0$ 对称的点为 $A'(x', y')$。
因为直线 $l$ 的斜率为 $k_l = 1$，且线段 $AA'$ 与直线 $l$ 垂直，
所以直线 $AA'$ 的斜率 $k_{AA'} = -1$。
即：$\frac{y' - (-2)}{x' - (-1)} = -1 \implies \frac{y'+2}{x'+1} = -1$
化简得：$x' + y' + 3 = 0$ ①

2. 根据线段中点在已知直线上建立中点代入方程

由中点公式，线段 $AA'$ 的中点 $M$ 的坐标为 $M\left(\frac{x'-1}{2}, \frac{y'-2}{2}\right)$。
因为中点 $M$ 在直线 $l:x-y+1=0$ 上，将 $M$ 的坐标代入直线方程得：
$\frac{x'-1}{2} - \frac{y'-2}{2} + 1 = 0$
两边同乘以 $2$ 化简得：
$(x'-1) - (y'-2) + 2 = 0 \implies x' - y' + 3 = 0$ ②

3. 联立方程组求出对称点坐标

联立①、②两个方程：
$\begin{cases} x' + y' + 3 = 0 \\ x' - y' + 3 = 0 \end{cases}$
两式相加得 $2x' + 6 = 0 \implies x' = -3$。
将 $x' = -3$ 代入①得 $-3 + y' + 3 = 0 \implies y' = 0$。
所以对称点 $A'$ 的坐标为 $(-3, 0)$。