已知$f(x)=\sin \omega x-\cos \omega x(\omega > \dfrac{1}{4},x\in R)$，若$f(x)$的任意一条对称轴与$x$轴的交点横坐标都不属于区间$(2\pi ,3\pi )$，则$\omega$的取值范围是$()$

A. $[\dfrac{3}{8},\dfrac{7}{12}]\bigcup [\dfrac{7}{8},\dfrac{11}{12}]$

B. $(\dfrac{1}{4},\dfrac{5}{12}]\bigcup [\dfrac{5}{8},\dfrac{3}{4}]$

C. $[\dfrac{3}{8},\dfrac{11}{12}]\bigcup [\dfrac{11}{8},\dfrac{19}{12}]$

D. $(\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}]\bigcup [\dfrac{9}{8},\dfrac{17}{12}]$

1. 利用辅助角公式化简函数解析式

已知函数为 $f(x)=\sin \omega x-\cos \omega x$，其中 $\omega > \frac{1}{4}$。
利用辅助角公式可得：
$f(x) = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \omega x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \omega x\right) = \sqrt{2} \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{4}\right)$

2. 求函数 $f(x)$ 的对称轴方程

令 $\omega x - \frac{\pi}{4} = k\pi + \frac{\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$)，
解得 $f(x)$ 的对称轴方程为：
$x = \frac{k\pi + \frac{3\pi}{4}}{\omega} = \frac{(4k+3)\pi}{4\omega}$ ($k \in \mathbb{Z}$)

3. 根据对称轴不属于给定区间建立关于 $\omega$ 的不等式关系并求出禁用区间

依题意，对任意 $k \in \mathbb{Z}$，恒有 $x_k \notin (2\pi, 3\pi)$。
由于 $\omega > \frac{1}{4}$，当 $k < 0$ 时，$x_k \leqslant -\frac{\pi}{4\omega} < 0$，自然不属于 $(2\pi, 3\pi)$，因此只需考虑 $k \geqslant 0$ 的情况。
若某条对称轴落入区间 $(2\pi, 3\pi)$，即：
$2\pi < \frac{(4k+3)\pi}{4\omega} < 3\pi$
解得 $\omega$ 的禁用区间（不合题意区间）为：
$\omega \in \left(\frac{4k+3}{12}, \frac{4k+3}{8}\right)$

4. 对 $k$ 分类讨论，求禁用区间的并集并求其补集得出 $\omega$ 的取值范围

设禁用区间为 $I_k = \left(\frac{4k+3}{12}, \frac{4k+3}{8}\right)$，列举其部分区间：

• 当 $k=0$ 时，$I_0 = \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{8}\right)$
• 当 $k=1$ 时，$I_1 = \left(\frac{7}{12}, \frac{7}{8}\right)$
• 当 $k=2$ 时，$I_2 = \left(\frac{11}{12}, \frac{11}{8}\right)$
• 当 $k=3$ 时，$I_3 = \left(\frac{5}{4}, \frac{15}{8}\right)$
  分析相邻禁用区间的重叠情况，若 $I_{k+1}$ 的左端点小于 $I_k$ 的右端点，即 $\frac{4k+7}{12} < \frac{4k+3}{8}$
  解得 $8k+14 < 12k+9 \implies 4k > 5 \implies k > 1.25$。
  因此，当 $k \geqslant 2$ 时，所有禁用区间均发生重叠，合并后为 $\left(\frac{11}{12}, +\infty\right)$。
  综上，$\omega$ 的总禁用范围为：
  $\left(\frac{1}{4}, \frac{3}{8}\right) \cup \left(\frac{7}{12}, \frac{7}{8}\right) \cup \left(\frac{11}{12}, +\infty\right)$
  结合条件 $\omega > \frac{1}{4}$，取上述禁用范围在 $\left(\frac{1}{4}, +\infty\right)$
  内的补集，得到 $\omega$ 的取值范围为：
  $\left[\frac{3}{8}, \frac{7}{12}\right] \cup \left[\frac{7}{8}, \frac{11}{12}\right]$
  故选 A。