【能5】一个自然数有10个因数，这个数最小是 ___ .

1. 根据因数个数公式分析正整数的质因数指数组合

设自然数 $N$ 的质因数分解标准型为 $N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$，则其因数个数为：
$(a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1) = 10$
由于 10 可以分解为整数乘积：
① $10 = 10$，此时 $N$ 只有一个质因数，指数为 $9$，即 $N = p_1^9$；
② $10 = 5 imes 2$，此时 $N$ 有两个质因数，指数分别为 $4$ 和 $1$，即 $N = p_1^4 \cdot p_2^1$。

2. 分类求出每种情况下的最小值并比较得出答案

分别求出两种情况下的最小值：

• 情况①：$N = p_1^9$，取最小质数 $p_1 = 2$，得 $N = 2^9 = 512$；
• 情况②：$N = p_1^4 \cdot p_2^1$，为使 $N$ 最小，应将较大的指数分配给较小的质数，故取 $p_1 = 2$，$p_2 = 3$，得 $N = 2^4 imes 3^1 = 16 imes 3 = 48$。

比较可得 $48 < 512$，所以这个数最小是 $48$。