(1)计算:(12)−3+∣3−2∣−(−2017)0( \dfrac {1}{2})^{-3}+| \sqrt {3}-2|-(-2017)^{0}. (2)先化简,再求值:已知:(1x−2+1)÷(x+1x−2)( \dfrac {1}{x-2}+1)÷(x+ \dfrac {1}{x-2}),其中x=4−2sin⁡30∘x=4-2\sin 30^{\circ}.

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完整解法

(1)

1. 分别计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值的值

根据指数幂的性质和绝对值的意义,可得:
(12)−3=23=8(\dfrac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8,
∣3−2∣=2−3|\sqrt{3}-2| = 2-\sqrt{3}(因为3<2\sqrt{3} < 2),
(−2017)0=1(-2017)^0 = 1.

2. 将计算出的各项结果代回原式进行加减运算

原式 = 8+(2−3)−1=9−38 + (2-\sqrt{3}) - 1 = 9 - \sqrt{3}.

答案

9−39-\sqrt{3}

(2)

1. 将除法算式中的前后两个括号部分分别进行通分化简

首先化简括号内部的式子:
1x−2+1=1+x−2x−2=x−1x−2\dfrac{1}{x-2} + 1 = \dfrac{1 + x - 2}{x-2} = \dfrac{x-1}{x-2},
x+1x−2=x(x−2)+1x−2=x2−2x+1x−2=(x−1)2x−2x + \dfrac{1}{x-2} = \dfrac{x(x-2)+1}{x-2} = \dfrac{x^2-2x+1}{x-2} = \dfrac{(x-1)^2}{x-2}.

2. 进行分式除法,将分式化简为最简形式

原式 = x−1x−2÷(x−1)2x−2=x−1x−2⋅x−2(x−1)2=1x−1\dfrac{x-1}{x-2} \div \dfrac{(x-1)^2}{x-2} = \dfrac{x-1}{x-2} \cdot \dfrac{x-2}{(x-1)^2} = \dfrac{1}{x-1}.

3. 求出已知条件中未知数 x 的具体数值

因为 x=4−2sin⁡30∘x = 4 - 2\sin 30^{\circ},且 sin⁡30∘=12\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2},
所以 x=4−2×12=4−1=3x = 4 - 2 \times \dfrac{1}{2} = 4 - 1 = 3.

4. 把 x 的值代入化简后的最简分式中求出结果

当 x=3x = 3 时,原式 = 13−1=12\dfrac{1}{3-1} = \dfrac{1}{2}.

答案

12\dfrac{1}{2}

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