黄金比例被公认为是最具美感的比例，其值为$K=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.$已知椭圆$E：\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率$e=K$，设坐标原点为$O$，椭圆的右焦点为$F$，左顶点为$A$，下顶点为$B$，过点$F$且垂直于$x$轴的直线交椭圆于点$P$和$Q$，则$(\quad)$

A. $\dfrac{b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{K}{2}$

B. $b^{2}=ac$

C. $∠ABF>90°$

D. $∠POQ=90°$

1. 分析选项 A，求出 $\dfrac{b^2}{a^2}$ 与黄金比例 $K$ 的关系

由题意，椭圆的离心率 $e = \dfrac{c}{a} = K = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，且 $K$ 满足 $K^2 + K - 1 = 0$，即 $K^2 = 1 - K$．
在椭圆中有 $a^2 = b^2 + c^2$，因此离心率平方为：
$e^2 = \dfrac{c^2}{a^2} = \dfrac{a^2 - b^2}{a^2} = 1 - \dfrac{b^2}{a^2}$
因为 $e = K$，所以有：
$1 - \dfrac{b^2}{a^2} = K^2 = 1 - K$
从而解得 $\dfrac{b^2}{a^2} = K$．
因此选项 A 错误．

2. 分析选项 B，求 $b^2$ 与 $ac$ 的关系

由第 1 步可知，$\dfrac{b^2}{a^2} = K$．
又因为离心率 $e = \dfrac{c}{a} = K$，所以有：
$\dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{c}{a}$
两边同乘以 $a^2$，得：
$b^2 = ac$
因此选项 B 正确．

3. 分析选项 C，计算 $∠ABF$ 的度数

建立平面直角坐标系，左顶点为 $A(-a, 0)$，下顶点为 $B(0, -b)$，右焦点为 $F(c, 0)$．
则有：
$\overrightarrow{BA} = (-a, b), \quad \overrightarrow{BF} = (c, b)$
计算它们的数量积为：
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BF} = -ac + b^2$
由第 2 步中已求得的结论 $b^2 = ac$，代入可得：
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BF} = -ac + ac = 0$
因此 $\overrightarrow{BA} \perp \overrightarrow{BF}$，即 $∠ABF = 90^\circ$．
所以选项 C 错误．

4. 分析选项 D，计算 $∠POQ$ 的度数

过右焦点 $F(c, 0)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线方程为 $x = c$．
将其代入椭圆方程 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，可得：
$\dfrac{c^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow y^2 = b^2 \left(1 - \dfrac{c^2}{a^2}\right) = \dfrac{b^4}{a^2}$
所以交点 $P$ 和 $Q$ 的坐标分别为 $\left(c, \dfrac{b^2}{a}\right)$ 和 $\left(c, -\dfrac{b^2}{a}\right)$．
计算向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $\overrightarrow{OQ}$ 的数量积为：
$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = c^2 - \dfrac{b^4}{a^2}$
由第 2 步已知 $b^2 = ac$，所以 $\dfrac{b^4}{a^2} = \dfrac{(ac)^2}{a^2} = c^2$．
代入可得：
$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = c^2 - c^2 = 0$
因此 $\overrightarrow{OP} \perp \overrightarrow{OQ}$，即 $∠POQ = 90^\circ$．
所以选项 D 正确．