对任意量给非零向量$\overrightarrow {a}$，$\overrightarrow {b}$，定义新运算：$\overrightarrow {a}×\overrightarrow {b}=\dfrac{|\overrightarrow {a}|\sin〈\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}〉}{|\overrightarrow {b}|}.$已知非零向量$\overrightarrow {m}$，$\overrightarrow {n}$满足$|\overrightarrow {m}|>3|\overrightarrow {n}|$，且向量$\overrightarrow {m}$，$\overrightarrow {n}$的夹角$θ\in(\dfrac{π}{4},\dfrac{π}{2})$，若$4(\overrightarrow {m}×\overrightarrow {n})$和$4(\overrightarrow {n}×\overrightarrow {m})$都是整数，则$\overrightarrow {m}×\overrightarrow {n}$的值可能是$(\quad)$

A. $2$

B. $3$

C. $4$

D. $\dfrac{17}{4}$

1. 确定 $\overrightarrow {n}×\overrightarrow {m}$ 的具体数值

根据定义可得 $\overrightarrow {n}×\overrightarrow {m} = \dfrac{|\overrightarrow {n}|\sin \theta}{|\overrightarrow {m}|}$。
设 $\overrightarrow {n}×\overrightarrow {m} = x$，根据题意 $4x$ 是整数，设 $4x = k \in \mathbb{Z}$，则 $x = \dfrac{k}{4}$。
由于 $|\overrightarrow {m}| > 3|\overrightarrow {n}| > 0$，可得 $0 < \dfrac{|\overrightarrow {n}|}{|\overrightarrow {m}|} < \dfrac{1}{3}$。
又因为 $\theta \in (\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2})$，所以 $\dfrac{\sqrt{2}}{2} < \sin \theta < 1$。
因此，$0 < \dfrac{|\overrightarrow {n}|}{|\overrightarrow {m}|}\sin \theta < \dfrac{1}{3} \times 1 = \dfrac{1}{3}$，即 $0 < \dfrac{k}{4} < \dfrac{1}{3}$，解得 $0 < k < \dfrac{4}{3}$。
因为 $k \in \mathbb{Z}$，所以 $k=1$，即 $\overrightarrow {n}×\overrightarrow {m} = \dfrac{1}{4}$。

2. 将目标表达式 $\overrightarrow {m}×\overrightarrow {n}$ 转化为关于 $\sin \theta$ 的函数关系式

由第1步可知，$\dfrac{|\overrightarrow {n}|\sin \theta}{|\overrightarrow {m}|} = \dfrac{1}{4}$，从而得到 $\dfrac{|\overrightarrow {m}|}{|\overrightarrow {n}|} = 4\sin \theta$。
再根据定义，目标表达式为：
$\overrightarrow {m}×\overrightarrow {n} = \dfrac{|\overrightarrow {m}|\sin\theta}{|\overrightarrow {n}|} = \left(\dfrac{|\overrightarrow {m}|}{|\overrightarrow {n}|}\right) \sin\theta = 4\sin^2\theta$

3. 求出 $\overrightarrow {m}×\overrightarrow {n}$ 的范围并确定其可能的值

因为 $|\overrightarrow {m}| > 3|\overrightarrow {n}|$，所以 $\dfrac{|\overrightarrow {m}|}{|\overrightarrow {n}|} > 3$，即 $4\sin\theta > 3$，解得 $\sin\theta > \dfrac{3}{4}$。
结合 $\theta \in (\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2})$ 可知 $\sin\theta < 1$，故 $\sin\theta \in (\dfrac{3}{4}, 1)$。
从而有 $\sin^2\theta \in (\dfrac{9}{16}, 1)$。
因此，$\overrightarrow {m}×\overrightarrow {n} = 4\sin^2\theta \in (\dfrac{9}{4}, 4)$，即其取值范围在 $(2.25, 4)$ 之间。
由于 $4(\overrightarrow {m}×\overrightarrow {n})$ 是整数，结合选项：

• A. 2 不在范围内；
• B. 3 在 $(2.25, 4)$ 内，且 $4 \times 3 = 12$ 是整数，符合题意；
• C. 4 不在范围内；
• D. $\dfrac{17}{4} = 4.25$ 不在范围内。
  故选 B。