若$x^{2}-x-2< 0$是$-2< x< a$的充分不必要条件，则实数$a$的值可以是$(\quad).$

A. $1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

B. $2\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

C. $3\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

D. $4$

1. 解一元二次不等式，确定充分条件的取值范围。

由 $x^2 - x - 2 < 0$，可因式分解为 $(x - 2)(x + 1) < 0$，
解得 $-1 < x < 2$.
设集合 $A = \{x \mid -1 < x < 2\}$.

2. 将充分不必要条件转化为集合的包含关系。

由题意，记集合 $B = \{x \mid -2 < x < a\}$.
因为 $x^2 - x - 2 < 0$ 是 $-2 < x < a$ 的充分不必要条件，
所以 $A \subsetneq B$，即集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集。

3. 利用数轴或区间包含关系求出参数 $a$ 的范围并确定选项。

要使 $A \subsetneq B$，即 $(-1, 2) \subsetneq (-2, a)$ 成立，
只需满足 $a \ge 2$ 且 $-2 \le -1$（显然成立）.
因此，实数 $a$ 的取值范围是 $a \ge 2$.
在给出的选项中，A 选项 $1 < 2$ 不满足；B、C、D 选项分别为 $2, 3, 4$，均满足 $a \ge 2$.
故实数 $a$ 的值可以是 $2, 3, 4$.