双曲线$C$：$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，$M$为$C$的渐近线上一点，直线$F_{2}M$交$C$于点$N$，且$\overrightarrow{{{F}_{2}}M}\cdot\overrightarrow{OM}=0$，$\overrightarrow{{{F}_{2}}M}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{{{F}_{2}}N}(O$为坐标原点$)$，则双曲线$C$的离心率为$(\quad)$

A. $\sqrt{5}$

B. $2$

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{2}$

1. 求出点 $M$ 的坐标

设双曲线 $C$ 的一条渐近线方程为 $y = \dfrac{b}{a}x$。
由 $\overrightarrow{F_2M} \cdot \overrightarrow{OM} = 0$ 可得 $OM \perp F_2M$。
因为 $M$ 在渐近线上，直线 $OM$ 的斜率为 $\dfrac{b}{a}$，所以直线 $F_2M$ 的斜率为 $-\dfrac{a}{b}$。
已知 $F_2(c, 0)$，则直线 $F_2M$ 的方程为 $y = -\dfrac{a}{b}(x - c)$，即 $ax + by - ac = 0$。
联立渐近线与直线 $F_2M$ 的方程：
$\begin{cases} bx - ay = 0 \\ ax + by - ac = 0 \end{cases}$
解得交点 $M$ 的坐标为 M\left(\dfrac{a^2}{c}, \dfrac{ab}{c} ight)。

2. 求出点 $N$ 的坐标

由 $\overrightarrow{F_2M} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{F_2N}$ 可得 $\overrightarrow{F_2N} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{F_2M}$。
因为 $F_2(c, 0)$，M\left(\dfrac{a^2}{c}, \dfrac{ab}{c} ight)，所以：

3. 代入双曲线方程求出离心率

因为点 $N$ 在双曲线 $C$ 上，将其坐标代入双曲线方程 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，得：
$\dfrac{\left(\dfrac{2a^2 + c^2}{3c}\right)^2}{a^2} - \dfrac{\left(\dfrac{2ab}{3c}\right)^2}{b^2} = 1$
化简整理得：
$\dfrac{(2a^2 + c^2)^2}{9a^2c^2} - \dfrac{4a^2}{9c^2} = 1$
同乘 $9a^2c^2$ 得：
$(2a^2 + c^2)^2 - 4a^4 = 9a^2c^2$
$4a^4 + 4a^2c^2 + c^4 - 4a^4 = 9a^2c^2$
$c^4 = 5a^2c^2$
因为 $c > 0$，所以 $c^2 = 5a^2$。
因此，离心率 $e^2 = \dfrac{c^2}{a^2} = 5$，由于 $e > 1$，解得 $e = \sqrt{5}$。
故选 A。