已知一圆锥的母线长为$10cm$，底面半径为$6cm.(1)$求圆锥的高$;(2)$若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积和体积.

1. 利用圆锥的高、底面半径和母线构成的直角三角形求出圆锥的高

设圆锥的高为 $h$。由圆锥的几何性质，圆锥的高 $h$、底面半径 $r$ 和母线 $l$ 构成直角三角形。
已知母线 $l = 10\text{ cm}$，底面半径 $r = 6\text{ cm}$。
根据勾股定理可得：
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$

1. 建立轴截面截面图，利用相似三角形求出内切球的半径

考虑圆锥及内切球的轴截面：截面为一个等腰三角形与其内切圆。
等腰三角形的底边长为圆锥底面直径 $2r = 12\text{ cm}$，腰长为母线 $l = 10\text{ cm}$，高为圆锥的高 $h = 8\text{ cm}$。
设内切球的半径为 $R$（即内切圆半径）。
设圆锥顶点为 $V$，底面圆心为 $M$，球心为 $O$，球与母线的切点为 $T$。
在 Rt$\triangle VTO$ 与 Rt$\triangle VMA$ 中，由于 $\angle V$ 为公共角，且 $\angle VTO = \angle VMA = 90^\circ$，故 $\triangle VTO \sim \triangle VMA$。
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{OT}{MA} = \frac{VO}{VA}$
代入已知量 $OT = R$，$MA = 6\text{ cm}$，$VO = h - R = 8 - R$，$VA = 10\text{ cm}$：
$\frac{R}{6} = \frac{8 - R}{10}$
解方程：
$10R = 6(8 - R) \implies 16R = 48 \implies R = 3\text{ cm}$

2. 代入公式计算球的表面积和体积

将球的半径 $R = 3\text{ cm}$ 代入公式计算：
球的表面积：
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \times 3^2 = 36\pi\text{ cm}^2$
球的体积：
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi\text{ cm}^3$