已知函数$f(x)=x+\dfrac{a}{2x}.$若曲线$y=f(x)$存在两条过$\left({2,0}\right)$点的切线，则$a$的取值范围是$(\quad)$

A. $(-∞,1)∪(8,+∞)$

B. $(-∞,-1)∪(8,+∞)$

C. $(-∞,0)∪(8,+∞)$

D. $(-∞,-8)∪(0,+∞)$

1. 求出函数的导数并设出切点，写出切线的斜率

已知函数 $f(x)=x+\dfrac{a}{2x}$（其中 $x\neq 0$）。
求导得 $f'(x)=1-\dfrac{a}{2x^2}$。
设切点坐标为 $\left(x_0, x_0+\dfrac{a}{2x_0}\right)$（其中 $x_0\neq 0$），
则切线的斜率为 $k=f'(x_0)=1-\dfrac{a}{2x_0^2}$。

2. 建立切线方程并代入已知点，化简得到关于切点横坐标的方程

由点斜式可得切线方程为：
$y-\left(x_0+\dfrac{a}{2x_0}\right)=\left(1-\dfrac{a}{2x_0^2}\right)(x-x_0)$
因为切线过点 $(2,0)$，将该点代入切线方程得：

3. 将切线数量转化为方程实根数量，利用判别式求解参数范围

由题意，曲线 $y=f(x)$ 存在两条过点 $(2,0)$ 的切线，等价于关于 $x_0$ 的一元二次方程 $2x_0^2+ax_0-a=0$ 有两个不相等的实数根，且根不为 $0$。
当 $a=0$ 时，方程为 $2x_0^2=0 \implies x_0=0$（不合题意，舍去），故 $a \neq 0$。
当 $a \neq 0$ 时，只需判别式 $\Delta > 0$ 即可：
$\Delta = a^2 - 4 \times 2 \times (-a) = a^2 + 8a > 0$
解得 $a < -8$ 或 $a > 0$。
所以 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, -8) \cup (0, +\infty)$。
故选 D。